Seja os 4 pontos dados a seguir utilizando a interpolação cúbica achar P3=a3 x^3+a2 x^2+ a1 x+a0 :
(1 ; 11) ;(2 ; 56) ;(3 ; 167) ;(4 ; 374) ; P(3,5)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos e o que vamos usar.
Enunciado resumido: temos quatro pontos
(1,11),;(2,56),;(3,167),;(4,374)
e queremos achar o polinômio cúbico
P3(x)=a3x^3+a2x^2+a1x+a0
que passa por esses pontos, e depois calcular .
Conteúdo: interpolação polinomial de grau 3 via tabela de diferenças finitas.
O que precisamos: montar a tabela de diferenças, usar o fato de que a terceira diferença é constante (igual a ), depois achar e, por fim, avaliar em .

Passo 2

Vamos montar a tabela de diferenças finitas:
x Δ¹ Δ² Δ³
1 11
2 56 56−11=45
3 167 167−56=111 111−45=66
4 374 374−167=207 207−111=96 96−66=30
Então:
Δ¹: 45, 111, 207
Δ²: 66, 96
Δ³: 30

Passo 3

Na teoria de diferenças finitas, a terceira diferença constante vale
De
Aqui 6,a3 = 30 Longrightarrow a3 = 306 = 5, logo

Passo 4

Para achar De, usamos a primeira entrada de Δ² que vale 66 e que, em termos dos coeficientes, é
66 = 2cdot5 + 2,a2 Longrightarrow 66 = 10 + 2,a2 Longrightarrow a2 = 28
Substituindo :

Passo 5

Agora pegamos a primeira entrada de Δ¹, que vale 45, e na teoria é
De
Substituindo 45 = 3cdot5 + 2cdot28 + a1 = 15 + 56 + a1 = 71 + a1 e a1 = 45 - 71 = -26:
Logo

Passo 6

Falta achar a3cdot1^3 + a2cdot1^2 + a1cdot1 + a0 = 11. Usamos o ponto 5 + 28 -26 + a0 = 11 Longrightarrow 7 + a0 =11Longrightarrow a0 =4, :

Passo 7

Com tudo achado, nosso polinômio é
P3(x) = 5x^3 + 28x^2 -26x + 4
Agora avaliamos em P3(3.5) =5,(3.5)^3 +28,(3.5)^2 -26,(3.5) +4 :
(3.5)^3=42.875,(3.5)^2=12.25
Calculando:
5cdot42.875=214.375,28cdot12.25=343, -26cdot3.5=-91
214.375 +343 -91 +4 = 470.375
Somando tudo:

Resposta

O polinômio interpolador é
boxedP3(x)=5x^3+28x^2-26x+4
e o valor em boxedP3(3.5)=470.375 é

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