Seja os 4 pontos dados a seguir utilizando a interpolação cúbica achar
:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que temos e o que vamos usar.
Enunciado resumido: temos quatro pontos
Enunciado resumido: temos quatro pontos
e queremos achar o polinômio cúbico
que passa por esses pontos, e depois calcular
.
Conteúdo: interpolação polinomial de grau 3 via tabela de diferenças finitas.
O que precisamos: montar a tabela de diferenças, usar o fato de que a terceira diferença é constante (igual a ), depois achar
e, por fim, avaliar em
.
Conteúdo: interpolação polinomial de grau 3 via tabela de diferenças finitas.
O que precisamos: montar a tabela de diferenças, usar o fato de que a terceira diferença é constante (igual a
Passo 2
Vamos montar a tabela de diferenças finitas:
x |
|
Δ¹ | Δ² | Δ³ |
---|---|---|---|---|
1 | 11 | |||
2 | 56 | 56−11=45 | ||
3 | 167 | 167−56=111 | 111−45=66 | |
4 | 374 | 374−167=207 | 207−111=96 | 96−66=30 |
Então:
Δ¹: 45, 111, 207
Δ²: 66, 96
Δ³: 30
Δ¹: 45, 111, 207
Δ²: 66, 96
Δ³: 30
Passo 3
Na teoria de diferenças finitas, a terceira diferença constante vale
Aqui
, logo
Passo 4
Para achar
, usamos a primeira entrada de Δ² que vale 66 e que, em termos dos coeficientes, é
Substituindo
:
Passo 5
Agora pegamos a primeira entrada de Δ¹, que vale 45, e na teoria é
Substituindo
e
:
Logo
Passo 6
Falta achar
. Usamos o ponto
,
:
Passo 7
Com tudo achado, nosso polinômio é
Agora avaliamos em
:
Calculando:
Somando tudo:
Resposta
O polinômio interpolador é
e o valor em
é