Usando a primeira regra composta de Simpson ( h=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=integral1^7(x^2+4 x+7) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado diz pra calcular
I = integral1^7(x^2 + 4x + 7),dx
usando a Regra Composta de Simpson com passo .
Conteúdo: integração numérica (Simpson composta) e também cálculo exato por antiderivada, pra depois achar o erro.
O que vamos precisar:
  • Dividir em subintervalos de tamanho (precisa ser número par de intervalos);
  • Aplicar a fórmula composta de Simpson;
  • Calcular a integral exata via primitiva;
  • Subtrair pra ver o erro.

Passo 2

Primeiro a gente monta os pontos e avalia x0=1,;x1=2,;dots,;x6=7 . Como de 1 a 7 com f(1)&=1^2+4cdot1+7=12, f(2)&=4 +8+7=19, f(3)&=9 +12+7=28, f(4)&=16+16+7=39, f(5)&=25+20+7=52, f(6)&=36+24+7=67, f(7)&=49+28+7=84 , temos 6 subintervalos ( ), logo os nós
Calculando:

Passo 3

Agora a Regra Composta de Simpson diz:
Iapprox S = h3l[f(x0)+f(xn)+4sumj=1,3,5f(xj) +2sumj=2,4f(xj)r]
Substituindo S = 13l[f(1)+f(7)+4l(f(2)+f(4)+f(6)r) +2l(f(3)+f(5)r)r] :
f(1)+f(7)=12+84=96, f(2)+f(4)+f(6)=19+39+67=125, f(3)+f(5)=28+52=80
Agora os somatórios:
S = 13l[96 + 4cdot125 + 2cdot80r] = 13(96 +500 +160) = 7563 =252
Logo

Passo 4

Pra achar a integral exata, usamos primitiva de cada termo:
integral x^2,dx = x^33, integral 4x,dx=2x^2, integral7,dx=7x
Então
integral1^7(x^2+4x+7),dx =l[x^33+2x^2+7xr]1^7
Em 7843-283=7563=252 :
Em :
Subtraindo:

Passo 5

O erro é a diferença entre aproximado e exato:
E = Irm exato - S = 252 - 252 = 0
Isso faz sentido porque Simpson integra exatamente polinômios até grau 3.

Resposta

Aproximação (Simpson composta, ):
Valor exato da integral:
Erro:

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