Usando a segunda regra composta de Simpson
, calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente aproximar
usando a regra composta de Simpson com passo
, depois calcular o valor exato da integral e, por fim, achar o erro.
Conteúdo da matéria: integração numérica (Simpson composta), cálculo de antiderivada e análise de erro. Vamos precisar
Conteúdo da matéria: integração numérica (Simpson composta), cálculo de antiderivada e análise de erro. Vamos precisar
- da fórmula da regra composta de Simpson
- do anticálculo de
- do termo de erro de Simpson
Passo 2
Teoria da regra composta de Simpson (1/3):
Se dividirmos em
subintervalos de largura
, com
par, então
Se dividirmos
Aqui o enunciado dá
e
,
, o que levaria a
. Mesmo sabendo que, rigorosamente,
precisa ser par, o ponto-chave é que nosso
é um polinômio de grau 2.
A regra de Simpson é exata para polinômios até grau 3.
Logo, sem nem precisar fazer toda a somatória, a aproximação de Simpson vai coincidir com o valor exato da integral.
A regra de Simpson é exata para polinômios até grau 3.
Logo, sem nem precisar fazer toda a somatória, a aproximação de Simpson vai coincidir com o valor exato da integral.
Passo 3
Agora calculamos a integral exatamente, usando antiderivada:
Avalia de
até
:
em :
.
em :
.
Subtraindo:
em
em
Subtraindo:
Passo 4
Como falamos, para polinômio de grau
a regra de Simpson dá resultado exato.
Então
-
-
Então
-
-
Passo 5
Erro de aproximação: