Seja os 4 pontos dados a seguir utilizando a interpolaccão cúbica achar P3=a3 x^3+a2 x^2+ a1 x+a0 :
(1 ; 4) ;(2 ; 28) ;(3 ; 106) ;(4 ; 268) ; P(2,5)=

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo: a gente tem quatro pontos
P3(x) = a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 e quer achar um polinômio cúbico
que passe por esses quatro pontos. Depois, a gente vai avaliar esse polinômio em .
Conteúdo: interpolação polinomial (especificamente cúbica) e sistema linear. Vamos montar as equações, resolver o sistema para encontrar e, por fim, calcular .

Passo 2

Primeiro, para cada ponto a3 xi^3 + a2 xi^2 + a1 xi + a0 = yi a condição de interpolação é
a3cdot1^3 + a2cdot1^2 + a1cdot1 + a0 = 4 Longrightarrow a3 + a2 + a1 + a0 = 4
Então, trocando por cada par:
  1. 8a3 + 4a2 + 2a1 + a0 = 28 :
27a3 + 9a2 + 3a1 + a0 = 106
  1. 64a3 + 16a2 + 4a1 + a0 = 268 :
  1. :
  1. :

Passo 3

Agora a gente resolve esse sistema. Primeiro elimino (8-1)a3 + (4-1)a2 + (2-1)a1 = 28-4 ;Longrightarrow; 7a3 + 3a2 + a1 = 24 subtraindo a equação 1) das outras três:
  • (2)−(1):
(27-8)a3 + (9-4)a2 + (3-2)a1 = 106-28 ;Longrightarrow; 19a3 + 5a2 + a1 = 78
  • (3)−(2):
(64-27)a3 + (16-9)a2 + (4-3)a1 = 268-106 ;Longrightarrow; 37a3 + 7a2 + a1 = 162
  • (4)−(3):
Agora temos três equações em .

Passo 4

Continuo eliminando 12a3 + 2a2 = 54 ;Longrightarrow; 6a3 + a2 = 27 subtraindo a primeira dessas da segunda e a segunda da terceira:
  • 18a3 + 2a2 = 84 ;Longrightarrow; 9a3 + a2 = 42 :
(9a3 - 6a3) + (a2 - a2) = 42 - 27 ;Longrightarrow; 3a3 = 15 ;Longrightarrow; a3 = 5
  • 6cdot5 + a2 = 27 ;Longrightarrow; 30 + a2 = 27 ;Longrightarrow; a2 = -3 :
7cdot5 + 3cdot(-3) + a1 = 24 ;Longrightarrow; 35 - 9 + a1 = 24 ;Longrightarrow; 26 + a1 = 24 ;Longrightarrow; a1 = -2
Subtraindo essas duas últimas:
5 + (-3) + (-2) + a0 = 4 ;Longrightarrow; 0 + a0 = 4 ;Longrightarrow; a0 = 4
Plugando em :
Agora volto em :
Por fim, na equação :

Passo 5

Com todos os coeficientes, o polinômio fica
P3(x) = 5x^3 - 3x^2 - 2x + 4
Só falta avaliar em P3(2.5) = 5,(2.5)^3 ;-;3,(2.5)^2 ;-;2,(2.5) ;+;4 = 5cdot15,625 - 3cdot6,25 - 5 + 4 = 78,125 - 18,75 - 5 + 4 = 58,375 :

Resposta

O polinômio de interpolação é
boxedP3(x) = 5x^3 - 3x^2 - 2x + 4,
e seu valor em boxedP3(2,5) = 58,375 é

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