Usando a primeira regra composta de Simpson ( ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral
de duas formas:
usando a Regra de Simpson composta com (aproximação);
encontrando o valor exato analiticamente;
e depois achar o erro entre esses dois resultados.
O que vai precisar: entender a fórmula da Regra de Simpson composta, calcular valores de em pontos igualmente espaçados e fazer a integral indefinida da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos preparar o que é a Regra de Simpson composta.
Sejam , e passo . O número de subintervalos é
que é par, exatamente o que o Simpson composto exige.
A fórmula é
Aqui , com .
Passo 3
Calculando os pontos e : , , , , , , , , ,
Passo 4
Agora plugamos na fórmula de Simpson composta:
Substituindo os valores:
Calculando as somas:
Então
Passo 5
Agora o valor exato:
Avalia de 1 a 9:
O primeiro parêntese dá , o segundo dá .
Logo
Passo 6
O erro é simplesmente
Faz sentido: Simpson é exato pra polinômios até grau 3.
Resposta
Aproximação Simpson composta (h=1):
Valor exato da integral:
Erro: .