Usando a primeira regra composta de Simpson ( h=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=integral1^9(x^2+7 x+7) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral
I = integral1^9 l(x^2 + 7x + 7r),dx
de duas formas:
  1. usando a Regra de Simpson composta com (aproximação);
  2. encontrando o valor exato analiticamente;
    e depois achar o erro entre esses dois resultados.
    O que vai precisar: entender a fórmula da Regra de Simpson composta, calcular valores de em pontos igualmente espaçados e fazer a integral indefinida da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos preparar o que é a Regra de Simpson composta.
Sejam n = b-ah = 9-11 = 8, , S = h3l[f(x0) + f(xn) + 4sumi ímparf(xi) + 2sumi par, ineq 0,nf(xi)r] e passo . O número de subintervalos é
que é par, exatamente o que o Simpson composto exige.
A fórmula é
í
Aqui , com .

Passo 3

Calculando os pontos e :
,
,
,
,
,
,
,
,
,

Passo 4

Agora plugamos na fórmula de Simpson composta:
S = 13l[f(1)+f(9) + 4l(f(2)+f(4)+f(6)+f(8)r) + 2l(f(3)+f(5)+f(7)r)r]
Substituindo os valores:
S = 13l[15 + 151 + 4(25 + 51 + 85 + 127) + 2(37 + 67 + 105)r]
Calculando as somas:
25+51+85+127 = 288, 4cdot288 = 1152,
37+67+105 = 209, 2cdot209 = 418,
15+151 = 166
Então
S = 13l(166 + 1152 + 418r) = 17363 approx 578,6667

Passo 5

Agora o valor exato:
integral (x^2+7x+7),dx = x^33 + 7x^22 + 7x + C
Avalia de 1 a 9:
l[tfracx^33 + tfrac7x^22 + 7xr]1^9 = l(243 + 283,5 + 63r) - l(tfrac13 + 3,5 + 7r)
O primeiro parêntese dá Irm exato = 589,5 - 10,8333 = 578,6667 = 17363 , o segundo dá .
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Passo 6

O erro é simplesmente
l|Irm exato - Sr| = l|tfrac17363 - tfrac17363r| = 0
Faz sentido: Simpson é exato pra polinômios até grau 3.

Resposta

Aproximação Simpson composta (h=1):
Valor exato da integral:
Erro: .

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