Usando a regra composta dos trapezios (h=1), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=integral1^5(x^2+6 x+7) d x

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um integral
I=integral1^5l(x^2+6x+7r),dx
e precisamos:
1) Aproximar esse integral pela regra composta dos trapézios com passo .
2) Calcular o valor exato do integral usando antiderivada.
3) Determinar o erro (diferença entre exato e aproximado).
O assunto é Integração Numérica (regra dos trapézios) e um pouco de Cálculo (antiderivada).

Passo 2

Primeiro, a teoria da regra composta dos trapézios: se n=b-ah=5-11=4 , x0=1,;x1=2,;x2=3,;x3=4,;x4=5 e f(1)&=1^2+6cdot1+7=14, f(2)&=2^2+6cdot2+7=23, f(3)&=3^2+6cdot3+7=34, f(4)&=4^2+6cdot4+7=47, f(5)&=5^2+6cdot5+7=62 , então o número de subintervalos é
Tn = hl[tfracf(x0)+f(xn)2+sumi=1^n-1f(xi)r]
Definimos os pontos
T4 =1l[tfrac14+622+(23+34+47)r] =762+104 =38+104 =142
e avaliamos em cada um:
A fórmula do trapézio composto é
Substituindo:
Logo, a aproximação pela regra dos trapézios é .

Passo 3

Agora o valor exato pelo cálculo da antiderivada. Sabemos que
integral x^2,dx=tfracx^33, integral 6x,dx=3x^2, integral 7,dx=7x
Então
I= l[tfracx^33+3x^2+7xr]1^5 =l(tfrac5^33+3cdot5^2+7cdot5r) -l(tfrac1^33+3cdot1^2+7cdot1r)
Calculando:
em x=5;&:;tfrac1253+75+35=tfrac1253+110=tfrac4553, em x=1;&:;tfrac13+3+7=tfrac13+10=tfrac313,
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I=4553-313 =4243approx141,3333

Passo 4

O erro absoluto é a diferença entre exato e aproximado:
E =l|Iexato-T4r| =l|4243-142r| =l|424-4263r| =23approx0,6667

Resposta

Aproximação (trapézios):
Valor exato:
Erro:

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