Usando a segunda regra composta de Simpson (h=1), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=integral1^7(x^2+5 x+3) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente aproximar a integral
I = integral1^7 l(x^2 + 5x + 3r),dx
usando a Regra Composta de Simpson com passo , depois calcular o valor exato da integral (usando antiderivada) e, por fim, achar o erro entre aproximação e exato.
Conteúdo: integração numérica (Simpson composta) e cálculo de integral exata. Vamos precisar:
  1. Entender a fórmula da Regra Composta de Simpson.
  2. Tabular pontos e valores .
  3. Saber integrar polinômio para obter o valor exato.

Passo 2

Primeiro, a Regra Composta de Simpson para S = h3l[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + 4f(x5) + f(x6)r] subintervalos (aqui x0=1,; x1=2,;dots,;x6=7 , pois ) é
Cada com . Como , temos

Passo 3

Agora tabulamos f(1)&=1+5+3=9, f(2)&=4+10+3=17, f(3)&=9+15+3=27, f(4)&=16+20+3=39, f(5)&=25+25+3=53, f(6)&=36+30+3=69, f(7)&=49+35+3=87 :
S = 13l[9 + 4cdot17 + 2cdot27 + 4cdot39 + 2cdot53 + 4cdot69 + 87r]
Plugando em Simpson:
9 + 68 + 54 + 156 + 106 + 276 + 87 = 756,
Calculando a soma interna:
S = 7563 = 252
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Passo 4

Para achar o valor exato, integramos integral (x^2+5x+3),dx = x^33 + 5x^22 + 3x + C :
l[tfrac7^33 + tfrac5cdot7^22 + 3cdot7r] -l[tfrac1^33 + tfrac5cdot1^22 + 3cdot1r] = 15476 - 356 = 15126 = 252
Avalia de 1 a 7:

Passo 5

O erro é a diferença entre aproximado e exato:
Erro = |252 - 252| = 0
Isso faz sentido, porque a Regra de Simpson é exata para polinômios de grau até 3, e aqui nossa função é grau 2.

Resposta

Aproximação (Simpson composta):
Valor exato da integral:
Erro absoluto:

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