Não há outra informação adicional. A tarefa é aplicar Gauss–Seidel (iterativo) e obter a solução do sistema.
Passo 2
Apresento a ideia do método de Gauss–Seidel de forma didática e sem pular etapas.
Gauss–Seidel atualiza cada incógnita sequencialmente usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. A fórmula genérica para a componente i na iteração k+1 é:
a_{ii} é o elemento da diagonal da linha i (deve ser diferente de zero).
b_i é o lado direito da equação i.
O primeiro somatório usa as componentes já atualizadas nesta iteração (x_j^{(k+1)} para j<i).
O segundo somatório usa as componentes antigas (x_j^{(k)} para j>i).
Para iniciar, escolhe-se um chute inicial \mathbf{x}^{(0)} (por exemplo o vetor nulo).
Condição de convergência (intuição prática): Gauss–Seidel costuma convergir rápido quando a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para todas as linhas) ou quando A é simétrica definida positiva. Se essas condições não se cumprem, a convergência NÃO é garantida.
Passo 3
Escrevo as fórmulas iterativas explícitas para este sistema (obtidas isolando cada x_i pela sua equação):
Aqui deixei x_3 reescrito numa forma que facilita cálculo (dividindo por -2 e mudando sinais). Note que, para cada iteração, usamos imediatamente os x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)},x_3^{(k+1)} conforme vão sendo calculados.]
Passo 4
Antes de calcular, verificamos a condição de dominância diagonal linha a linha (para ver se temos garantia de convergência):
Calculo para cada linha i o valor |a_{ii}| e a soma das outras magnitudes:
Em todas as linhas temos |a_{ii}|<\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. Portanto A NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas; logo não há garantia teórica de convergência do Gauss–Seidel. Isso já acende um sinal amarelo: o método pode divergir dependendo da ordem e do chute inicial.
Passo 5
Faço as primeiras iterações com chute inicial \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^\top para ver o comportamento. Vou calcular passo a passo (valores decimais suficientes para ver a tendência).
e os valores continuam explodindo (torna-se muito grande em módulo).
Interpretação prática: os iterados não se aproximam de um vetor fixo; pelo contrário, os valores crescem dramaticamente em módulo e alternam de sinal. Isso mostra que, com o chute inicial zero e nesta ordenação das equações, o Gauss–Seidel diverge. A razão é a falta de dominância diagonal (e, aparentemente, o raio espectral da matriz de iteração é maior que 1).
Passo 6
Conclusão e alternativa prática para obter a solução.
Conclusão: O método de Gauss–Seidel, aplicado diretamente a este sistema com o chute inicial \mathbf{0} e na ordem dada, diverge; portanto não é possível obter a solução do sistema por simples iterações de Gauss–Seidel neste arranjo (ao menos sem modificações como reordenação apropriada dos desconhecidos, relaxação SOR com parâmetro adequado, ou outro truque).
Alternativa: usar eliminação de Gauss (ou método direto) para obter a solução exata e usar isso como referência. Eu resolvi o sistema por eliminação e obtenho a solução exata abaixo.