Seja o problema de 4 equações e 4 incógnitas dado por:
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 4 & -2 \\\\ -3 & 4 & 2 & -1 \\\\ 3 & 5 & -2 & 4 \\\\ -2 & 3 & 2 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 19 \\\\ 1 \\\\ 8 \\\\ 13 \end{array}\right)
Resolva o sistema de equações empregando:
Método de Gauss-Seidel

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear 4\times4:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & -2 \\\\ -3 & 4 & 2 & -1 \\\\ 3 & 5 & -2 & 4 \\\\ -2 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19\\\ 1\\\ 8\\\ 13\end{pmatrix}.
O pedido: resolver o sistema empregando o método de Gauss–Seidel.
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & -2 \\\\ -3 & 4 & 2 & -1 \\\\ 3 & 5 & -2 & 4 \\\\ -2 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}19\\\ 1\\\ 8\\\ 13\end{pmatrix}.
Não há outra informação adicional. A tarefa é aplicar Gauss–Seidel (iterativo) e obter a solução do sistema.

Passo 2

Apresento a ideia do método de Gauss–Seidel de forma didática e sem pular etapas.
Gauss–Seidel atualiza cada incógnita sequencialmente usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. A fórmula genérica para a componente i na iteração k+1 é:
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}\,x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).
Explicando cada termo:
  • a_{ii} é o elemento da diagonal da linha i (deve ser diferente de zero).
  • b_i é o lado direito da equação i.
  • O primeiro somatório usa as componentes já atualizadas nesta iteração ( x_j^{(k+1)} para j<i).
  • O segundo somatório usa as componentes antigas ( x_j^{(k)} para j>i).
  • Para iniciar, escolhe-se um chute inicial \mathbf{x}^{(0)} (por exemplo o vetor nulo).
Condição de convergência (intuição prática): Gauss–Seidel costuma convergir rápido quando a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para todas as linhas) ou quando A é simétrica definida positiva. Se essas condições não se cumprem, a convergência NÃO é garantida.

Passo 3

Escrevo as fórmulas iterativas explícitas para este sistema (obtidas isolando cada x_i pela sua equação):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)}&=\tfrac{1}{2}\bigl(19 - x_2^{(k)} -4x_3^{(k)} +2x_4^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(1 +3x_1^{(k+1)} -2x_3^{(k)} + x_4^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)}&=\tfrac{1}{-2}\bigl(8 -3x_1^{(k+1)} -5x_2^{(k+1)} -4x_4^{(k)}\bigr) =\tfrac{3x_1^{(k+1)}+5x_2^{(k+1)}+4x_4^{(k)}-8}{2},\\[4pt] x_4^{(k+1)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(13 +2x_1^{(k+1)} -3x_2^{(k+1)} -2x_3^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
Aqui deixei x_3 reescrito numa forma que facilita cálculo (dividindo por -2 e mudando sinais). Note que, para cada iteração, usamos imediatamente os x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)},x_3^{(k+1)} conforme vão sendo calculados.]

Passo 4

Antes de calcular, verificamos a condição de dominância diagonal linha a linha (para ver se temos garantia de convergência):
Calculo para cada linha i o valor |a_{ii}| e a soma das outras magnitudes:
\begin{aligned} \text{linha 1: }&|a_{11}|=|2|=2,\quad \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|1|+|4|+|-2|=7,\\\ \text{linha 2: }&|a_{22}|=|4|=4,\quad \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|{-3}|+|2|+|{-1}|=6,\\\ \text{linha 3: }&|a_{33}|=|-2|=2,\quad \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|3|+|5|+|4|=12,\\\ \text{linha 4: }&|a_{44}|=|4|=4,\quad \sum_{j\ne4}|a_{4j}|=|{-2}|+|3|+|2|=7. \end{aligned}
Em todas as linhas temos |a_{ii}|<\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. Portanto A NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas; logo não há garantia teórica de convergência do Gauss–Seidel. Isso já acende um sinal amarelo: o método pode divergir dependendo da ordem e do chute inicial.

Passo 5

Faço as primeiras iterações com chute inicial \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^\top para ver o comportamento. Vou calcular passo a passo (valores decimais suficientes para ver a tendência).
Iteração k=0 \to k=1:
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\tfrac{1}{2}(19-0-0+0)=9{,}5,\\\ x_2^{(1)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(1+3\cdot 9{,}5 -0 +0\bigr)=\tfrac{29{,}5}{4}=7{,}375,\\\ x_3^{(1)}&=\tfrac{3\cdot 9{,}5 +5\cdot 7{,}375 +4\cdot 0 -8}{2} =\tfrac{28{,}5+36{,}875-8}{2}=28{,}6875,\\\ x_4^{(1)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(13+2\cdot 9{,}5 -3\cdot 7{,}375 -2\cdot 28{,}6875\bigr) =-11{,}875. \end{aligned}
Iteração k=1 \to k=2:
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\tfrac{1}{2}\bigl(19-7{,}375-4\cdot 28{,}6875 +2(-11{,}875)\bigr) =-63{,}4375,\\\ x_2^{(2)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(1+3(-63{,}4375)-2\cdot 28{,}6875 +(-11{,}875)\bigr)=-64{,}640625,\\\ x_3^{(2)}&=\tfrac{3(-63{,}4375)+5(-64{,}640625)+4(-11{,}875)-8}{2}=-284{,}5078125,\\\ x_4^{(2)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(13+2(-63{,}4375)-3(-64{,}640625)-2(-284{,}5078125)\bigr)=162{,}265625. \end{aligned}
Iteração k=2 \to k=3 (mostro só as duas primeiras atualizações para ver a tendência):
\begin{aligned} x_1^{(3)}&\approx 773{,}1015625,\\\ x_2^{(3)}&\approx 762{,}896484375, \end{aligned}
e os valores continuam explodindo (torna-se muito grande em módulo).
Interpretação prática: os iterados não se aproximam de um vetor fixo; pelo contrário, os valores crescem dramaticamente em módulo e alternam de sinal. Isso mostra que, com o chute inicial zero e nesta ordenação das equações, o Gauss–Seidel diverge. A razão é a falta de dominância diagonal (e, aparentemente, o raio espectral da matriz de iteração é maior que 1).

Passo 6

Conclusão e alternativa prática para obter a solução.
  • Conclusão: O método de Gauss–Seidel, aplicado diretamente a este sistema com o chute inicial \mathbf{0} e na ordem dada, diverge; portanto não é possível obter a solução do sistema por simples iterações de Gauss–Seidel neste arranjo (ao menos sem modificações como reordenação apropriada dos desconhecidos, relaxação SOR com parâmetro adequado, ou outro truque).
  • Alternativa: usar eliminação de Gauss (ou método direto) para obter a solução exata e usar isso como referência. Eu resolvi o sistema por eliminação e obtenho a solução exata abaixo.

Resposta

x_1=\tfrac{293}{121}
x_2=\tfrac{41}{121}
x_3=\tfrac{538}{121}
x_4=\tfrac{240}{121}

Exercícios relacionados