Seja R uma relação de A em B.
Chama-se domínio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencente a R.
x in D Leftrightarrow exists y, y in B mid(x, y) in R
Decorre da definição que D subset A.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar:
  • Enunciado resumido:
    • Temos uma relação D = ,x mid exists yin B,;(x,y)in R .
    • O domínio de é • Queremos mostrar que .
  • Matéria: teoria de conjuntos, noções de relação e de subconjunto.
  • O que precisamos:
    1. Definição de subconjunto ( ).
    2. Propriedade básica de uma relação .

Passo 2

Definição de subconjunto: dizer que forall xl(xin D ;Longrightarrow; xin Ar) significa
Ou seja, todo elemento de também deve pertencer a .

Passo 3

O que significa Atimes B = (u,v)mid uin A,;vin B ?
Por definição de produto cartesiano,
xin A e yin B
Logo, se e , então necessariamente

Passo 4

Agora, para provar , faça um “genérico” assim:
  1. Pegue um elemento qualquer .
  2. Pela definição de , existe tal que .
  3. Mas como , temos .
  4. Concluímos: esse que veio de também está em .
  5. Como escolhemos um qualquer, vale para todos — logo .

Resposta

D subset A

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