Seja R uma relação de A em B.
Chama-se domínio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencente a R.
Decorre da definição que
.
Chama-se domínio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencente a R.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar:
- Enunciado resumido:
• Temos uma relação.
• O domínio deé • Queremos mostrar que . - Matéria: teoria de conjuntos, noções de relação e de subconjunto.
- O que precisamos:
- Definição de subconjunto (
). - Propriedade básica de uma relação
.
- Definição de subconjunto (
Passo 2
Definição de subconjunto: dizer que
significa
Ou seja, todo elemento de
também deve pertencer a
.
Passo 3
O que significa
?
Por definição de produto cartesiano,
Por definição de produto cartesiano,
Logo, se
e
, então necessariamente
Passo 4
Agora, para provar
, faça um “genérico” assim:
- Pegue um elemento qualquer
. - Pela definição de
, existe tal que . - Mas como
, temos . - Concluímos: esse
que veio de também está em . - Como escolhemos um
qualquer, vale para todos — logo .