Seja o seguinte conjunto de dados:
c|c|c|c|c|c $x$ & 1 & 2 & 4 & 5 & 7 hline$y$ & 52 & 5 & -5 & -40 & 10 1 2 4 5 7
52 5 -5 -40 10
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Não precisa simplificá-lo.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos cinco pontos
(x1,y1)=(1,52),;(x2,y2)=(2,5),;(x3,y3)=(4,-5),;(x4,y4)=(5,-40),;(x5,y5)=(7,10)
e queremos achar o polinômio interpolador de grau 4 no formato de Lagrange.
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Lagrange.
O que precisamos: entender a fórmula geral dos polinômios base P(x)=sumi=1^5 yi,Li(x) e montar

Passo 2

Fórmula geral de Lagrange: para cada Li(x);=;prodsubstackj=1jneq i^5x - xjxi - xj, definimos
P(x);=;sumi=1^5 yi,Li(x)
que tem a propriedade de e para .
Então o polinômio interpolador é

Passo 3

Calcular (1-2)(1-4)(1-5)(1-7)=(-1)times(-3)times(-4)times(-6)=72 para L1(x)=(x-2)(x-4)(x-5)(x-7)72 .
Denominador:
Numerador: .
Logo

Passo 4

Calcular (2-1)(2-4)(2-5)(2-7)=1times(-2)times(-3)times(-5)=-30 para L2(x)=(x-1)(x-4)(x-5)(x-7)-30 .
Denominador:
Numerador: .
Logo

Passo 5

Calcular (4-1)(4-2)(4-5)(4-7)=3times2times(-1)times(-3)=18 para L3(x)=(x-1)(x-2)(x-5)(x-7)18 .
Denominador:
Numerador: .
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Passo 6

Calcular (5-1)(5-2)(5-4)(5-7)=4times3times1times(-2)=-24 para L4(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-7)-24 .
Denominador:
Numerador: .
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Passo 7

Calcular (7-1)(7-2)(7-4)(7-5)=6times5times3times2=180 para L5(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)180 .
Denominador:
Numerador: .
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Passo 8

Agora montamos o polinômio interpolador:
P(x)=52,L1(x);+;5,L2(x);-;5,L3(x);-;40,L4(x);+;10,L5(x)

Resposta

boxed P(x)=52(x-2)(x-4)(x-5)(x-7)72 +5(x-1)(x-4)(x-5)(x-7)-30 -5(x-1)(x-2)(x-5)(x-7)18 -40(x-1)(x-2)(x-4)(x-7)-24 +10(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)180

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