Usando a expansão em série de Taylor, deduza uma fórmula de diferença finita centrada com quatro pontos para avaliar a derivada primeira de uma função dada por um conjunto de pontos uniformemente espaçados. A fórmula deve fornecer a derivada no ponto
em termos de
,
e
.
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão pede: a gente quer aproximar a derivada primeira de uma função
num ponto
usando só os valores de
em quatro pontos igualmente espaçados:
com passo
. O conteúdo é a expansão em série de Taylor e montagem de um sistema para achar os “pesos” que eliminam todos os erros até ordem desejada.
Para resolver, vamos precisar:
Para resolver, vamos precisar:
- Taylor de
e até a ordem certa. - Montar uma combinação linear com coeficientes desconhecidos.
- Impor que essa combinação isole
e faça zero os termos de erro de ordens baixas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as expansões em Taylor em torno de
. Definindo
, têm-se:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Aqui estamos só aplicando a fórmula genérica
.
Passo 3
A gente supõe uma combinação linear do tipo
e depois vai usar
Nosso objetivo é escolher
de modo que:
-
dê exatamente até um erro de ordem . - Eliminar todo termo de
, , e em , deixando só o -principal.
Passo 4
Substituindo as expansões de cada ponto em
e agrupando termo a termo, obtemos condições:
-
Coeficiente de
(para zerar o termo constante):
-
Coeficiente de
(para isolar exatamente uma vez ):
-
Coeficiente de
(para anular o termo em ):
-
Coeficiente de
(para anular o termo em ):
Isso já basta (esse sistema de 4 equações em 4 incógnitas também elimina
de forma automática).
Passo 5
Resolvendo esse sistema, a gente encontra, depois de um pouco de álgebra:
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Resposta
A fórmula de diferença finita centrada com quatro pontos para
é