Usando a expansão em série de Taylor, deduza uma fórmula de diferença finita centrada com quatro pontos para avaliar a derivada primeira de uma função dada por um conjunto de pontos uniformemente espaçados. A fórmula deve fornecer a derivada no ponto x=xi em termos de f(xi-2), f(xi-1), f(xi+1) e f(xi+2).

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede: a gente quer aproximar a derivada primeira de uma função xi-2,;xi-1,;xi+1,;xi+2, num ponto usando só os valores de em quatro pontos igualmente espaçados:
com passo . O conteúdo é a expansão em série de Taylor e montagem de um sistema para achar os “pesos” que eliminam todos os erros até ordem desejada.
Para resolver, vamos precisar:
  1. Taylor de e até a ordem certa.
  2. Montar uma combinação linear com coeficientes desconhecidos.
  3. Impor que essa combinação isole e faça zero os termos de erro de ordens baixas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as expansões em Taylor em torno de f(xi+h)=f + f'h + f''2!h^2 + f'''3!h^3 + f''''4!h^4 + O(h^5) . Definindo f(xi-h)=f - f'h + f''2!h^2 - f'''3!h^3 + f''''4!h^4 + O(h^5) , têm-se:
  1. Em f(xi+2h)=f +2f'h + 2f''h^2 + 43f'''h^3 + 23f''''h^4 + O(h^5) :
f(xi-2h)=f -2f'h + 2f''h^2 - 43f'''h^3 + 23f''''h^4 + O(h^5)
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :
Aqui estamos só aplicando a fórmula genérica
.

Passo 3

A gente supõe uma combinação linear do tipo
S ;=; A,f(xi-2) ;+; B,f(xi-1) ;+; C,f(xi+1) ;+; D,f(xi+2),
e depois vai usar
boxedf'(xi)approx Sh
Nosso objetivo é escolher de modo que:
  1. dê exatamente até um erro de ordem .
  2. Eliminar todo termo de , , e em , deixando só o -principal.

Passo 4

Substituindo as expansões de cada ponto em e agrupando termo a termo, obtemos condições:
  1. Coeficiente de (para zerar o termo constante):
  2. Coeficiente de (para isolar exatamente uma vez ):
  3. Coeficiente de (para anular o termo em ):
  4. Coeficiente de (para anular o termo em ):
Isso já basta (esse sistema de 4 equações em 4 incógnitas também elimina de forma automática).

Passo 5

Resolvendo esse sistema, a gente encontra, depois de um pouco de álgebra:
A = 112, B = -812 = -23, C = +812 = +23, D = -112
Logo
S = 112,f(xi-2) ;-;812,f(xi-1) ;+;812,f(xi+1) ;-;112,f(xi+2)

Resposta

A fórmula de diferença finita centrada com quatro pontos para boxed f'(xi)approx f(xi-2) ;-;8,f(xi-1);+;8,f(xi+1);-;f(xi+2)12,h +;O(h^4) é

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