Analise a convergência das seguintes séries:
[Converge por comparação com o limite, tome
]
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para a gente analisar se a série
converge ou diverge. Isso é parte de “séries numéricas” no cálculo, e a dica é usar comparação de limites com a série harmônica
. Para resolver, a gente vai precisar saber:
- Como funciona o teste de comparação por limites (limit comparison test).
- Que, para
perto de zero, .
Passo 2
Primeiro, lembra da ideia do teste de comparação por limites: se você tem duas séries com termos positivos
e
e existe o limite
onde
, então as duas séries se comportam da mesma forma: ou as duas convergem ou as duas divergem.
Aqui a gente define
Passo 3
Agora vamos achar o limite
Fazendo a troca
, quando
a gente tem
. Então
E pela teoria básica de limites em trigonometria,
Ou seja,
, um número finito e não zero.
Isso significa que
e
têm o mesmo destino. Mas a gente conhece a série harmônica
que diverge.
Resposta
Logo, pela comparação de limites, a série
também diverge.
também diverge.