Analise a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty sin (1 / n) [Converge por comparação com o limite, tome bn=1 / n ]

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para a gente analisar se a série
sumn=1^infty sin!l(tfrac1nr)
converge ou diverge. Isso é parte de “séries numéricas” no cálculo, e a dica é usar comparação de limites com a série harmônica . Para resolver, a gente vai precisar saber:
  • Como funciona o teste de comparação por limites (limit comparison test).
  • Que, para perto de zero, .

Passo 2

Primeiro, lembra da ideia do teste de comparação por limites: se você tem duas séries com termos positivos L = limntoinfty anbn, e an = sin!l(tfrac1nr) e bn = 1n e existe o limite
onde , então as duas séries se comportam da mesma forma: ou as duas convergem ou as duas divergem.
Aqui a gente define

Passo 3

Agora vamos achar o limite
L = limntoinfty sinl(tfrac1nr)tfrac1n
Fazendo a troca L = limxto0^+ sin xx , quando limxto0 sin xx = 1 a gente tem sumn=1^infty 1n, . Então
E pela teoria básica de limites em trigonometria,
Ou seja, , um número finito e não zero.
Isso significa que e têm o mesmo destino. Mas a gente conhece a série harmônica
que diverge.

Resposta

Logo, pela comparação de limites, a série

também diverge.

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