Seja o sistema A=[ccc3 & 2 & 1 alpha^2 & -2 & 2 alpha 1 & alpha & -2], x=[lx1 x2 x3] e b=[l2 1 0].
Encontre todos os valores de alpha que tornam a matriz A uma matriz singular, isto é, uma matriz não inversível. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo. (Valor: 0, 5).

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos uma matriz
3&2&1[6pt]alpha^2&-2&2alpha[6pt]1&alpha&-2
e queremos achar todos os valores de que fazem singular (ou seja, não inversível).
Matéria envolvida: determinante de matrizes e condição de singularidade ( ).
O que vamos precisar:
  1. Saber que matriz é singular quando seu determinante é zero.
  2. Calcular em função de .
  3. Resolver a equação polinomial .

Passo 2

Teoria básica:
  • Uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, .
  • Se , a gente diz que é singular.
  • Para encontrar quando é singular, basta calcular e igualar a zero.

Passo 3

Vamos calcular det(A) =3-2 & 2alpha [3pt]alpha & -2 -2alpha^2 & 2alpha [3pt]1 & -2 +1alpha^2 & -2 [3pt]1 & alpha expandindo pela primeira linha (expansão de Laplace):
-2 & 2alpha alpha & -2
Cada mini-determinante:
  1. alpha^2 & 2alpha 1 & -2
  2. alpha^2 & -2 1 & alpha

Passo 4

Substituindo tudo:
det(A) =3,(4-2alpha^2);-;2,(-2alpha^2-2alpha);+;(alpha^3+2)
Agora é só distribuir e juntar termos:
det(A) =12-6alpha^2 ;+;4alpha^2+4alpha ;+;alpha^3+2 =alpha^3-2alpha^2+4alpha+14
A condição de singularidade é
det(A)=0 Longrightarrow alpha^3-2alpha^2+4alpha+14=0

Passo 5

Precisamos resolver a equação cúbica
.
  1. Tentamos raízes inteiras (±1,±2,±7,±14) e não deu zero.
  2. Só resta usar fórmula de Cardano ou aproximar numericamente.
    Fazendo uma busca rápida numa calculadora, a gente acha:
  • Uma raiz real: .
  • Duas raízes complexas conjugadas:
    .

Resposta

Os valores de alpha^3-2alpha^2+4alpha+14=0, que tornam boxedalphaapprox -1,50706, alphaapprox1,75353+2,49153,i, alphaapprox1,75353-2,49153,i singular são as três soluções da equação
isto é, aproximadamente

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