Seja o sistema e b=[l2 1 0].
Encontre todos os valores de alpha que tornam a matriz A uma matriz singular, isto é, uma matriz não inversível. Apresentar os desenvolvimentos teórico e de cálculo. (Valor: 0, 5).
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: temos uma matriz
3&2&1[6pt]alpha^2&-2&2alpha[6pt]1&alpha&-2
e queremos achar todos os valores de que fazem singular (ou seja, não inversível).
Matéria envolvida: determinante de matrizes e condição de singularidade ().
O que vamos precisar:
Saber que matriz é singular quando seu determinante é zero.
Calcular em função de .
Resolver a equação polinomial .
Passo 2
Teoria básica:
Uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, .
Se , a gente diz que é singular.
Para encontrar quando é singular, basta calcular e igualar a zero.
Passo 3
Vamos calcular det(A) =3-2 & 2alpha [3pt]alpha & -2 -2alpha^2 & 2alpha [3pt]1 & -2 +1alpha^2 & -2 [3pt]1 & alpha expandindo pela primeira linha (expansão de Laplace):
Tentamos raízes inteiras (±1,±2,±7,±14) e não deu zero.
Só resta usar fórmula de Cardano ou aproximar numericamente.
Fazendo uma busca rápida numa calculadora, a gente acha:
Uma raiz real: .
Duas raízes complexas conjugadas: .
Resposta
Os valores de alpha^3-2alpha^2+4alpha+14=0, que tornam boxedalphaapprox -1,50706, alphaapprox1,75353+2,49153,i, alphaapprox1,75353-2,49153,i singular são as três soluções da equação