Considere o sistema linear
em que:
e
l2 9 2 0 .
(a) Monte o esquema iterativo para o método de Gauss-Jacobi de modo que a convergência do processo seja garantida. Justifique.
(b) Realize duas iterações do método de Gauss-Jacobi a partir de
lll0 & 0 & 0 .
© Repita os itens (a) e (b) utilizando o Método de Gauss-Seidel.
(a) Monte o esquema iterativo para o método de Gauss-Jacobi de modo que a convergência do processo seja garantida. Justifique.
(b) Realize duas iterações do método de Gauss-Jacobi a partir de
© Repita os itens (a) e (b) utilizando o Método de Gauss-Seidel.
Passo 1
Beleza, temos que resolver o sistema linear
O conteúdo aqui é Métodos Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel), e a gente vai precisar de:
- Garantir convergência via dominância diagonal (reordenar as linhas de A).
- Montar o esquema
. - Iterar duas vezes começando de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reordenar as equações para deixar A estritamente diagonal dominante em cada linha, pois isso garante que tanto Jacobi quanto Gauss-Seidel convergem. Uma escolha que funciona é permutar as linhas na ordem (4,3,1,2). A’ e b’ ficam:
Agora cada linha satisfaz
.
Passo 3
(a) Método de Gauss-Jacobi
Para Jacobi a fórmula geral é
Para Jacobi a fórmula geral é
Aplicando em cada linha de
x1 = -tfrac15,(x2 + x3 + x4), x2 = tfrac14,(2 - 2,x1 + x3), x3 = tfrac14,(2 - x1 - x2 - x4), x4 = tfrac14,(9 - x2 - 2,x3) :
Como
é estritamente dominante, a matriz de iteração
tem raio espectral <1 e converge.
Passo 4
(b) Duas iterações de Jacobi, com
x1^(1) &= -tfrac15(0+0+0)=0, x2^(1) &= tfrac14(2 -0+0)=0.5, x3^(1) &= tfrac14(2 -0 -0 -0)=0.5, x4^(1) &= tfrac14(9 -0 -2cdot0.5)=2 :
Iteração k=1:
Iteração k=1:
Iteração k=2:
Passo 5
© Método de Gauss-Seidel
Para GS, usamos a mesma reordenação e a fórmula
Para GS, usamos a mesma reordenação e a fórmula
Como continuamos com a matriz estritamente diagonal dominante, a convergência também está garantida.
Passo 6
Duas iterações de Gauss-Seidel com
x1^(1) &= -tfrac15(0+0+0)=0, x2^(1) &= tfrac14(2 -2cdot0 +0)=0.5, x3^(1) &= tfrac14(2 -0 -0.5 -0)=0.375, x4^(1) &= tfrac14(9 -0.5 -2cdot0.375)=1.9375 :
Iteração k=1:
Iteração k=1:
Iteração k=2:
Resposta
Gauss-Jacobi:
x⁽¹⁾ = (0, 0.5, 0.5, 2)ᵀ,
x⁽²⁾ = (–0.6, 0.625, –0.125, 1.875)ᵀ.
x⁽¹⁾ = (0, 0.5, 0.5, 2)ᵀ,
x⁽²⁾ = (–0.6, 0.625, –0.125, 1.875)ᵀ.
Gauss-Seidel:
x⁽¹⁾ = (0, 0.5, 0.375, 1.9375)ᵀ,
x⁽²⁾ = (–0.5625, 0.875, –0.0625, 2.0625)ᵀ.
x⁽¹⁾ = (0, 0.5, 0.375, 1.9375)ᵀ,
x⁽²⁾ = (–0.5625, 0.875, –0.0625, 2.0625)ᵀ.