Considere o sistema linear A x=b em que:
cccc1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 2 & 4 & -1 & 0 5 & 1 & 1 & 1 e l2 9 2 0.
(a) Monte o esquema iterativo para o método de Gauss-Jacobi de modo que a convergência do processo seja garantida. Justifique.
(b) Realize duas iterações do método de Gauss-Jacobi a partir de lll0 & 0 & 0.
© Repita os itens (a) e (b) utilizando o Método de Gauss-Seidel.

Passo 1

Beleza, temos que resolver o sistema linear
A x = b com A = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 2 & 4 & -1 & 0 5 & 1 & 1 & 1 , b = 2920
O conteúdo aqui é Métodos Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel), e a gente vai precisar de:
  1. Garantir convergência via dominância diagonal (reordenar as linhas de A).
  2. Montar o esquema .
  3. Iterar duas vezes começando de .

Passo 2

Primeiro, vamos reordenar as equações para deixar A estritamente diagonal dominante em cada linha, pois isso garante que tanto Jacobi quanto Gauss-Seidel convergem. Uma escolha que funciona é permutar as linhas na ordem (4,3,1,2). A’ e b’ ficam:
A' = 5 & 1 & 1 & 1 2 & 4 & -1 & 0 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 , b' = 0229
Agora cada linha satisfaz .

Passo 3

(a) Método de Gauss-Jacobi
Para Jacobi a fórmula geral é
xi^(k+1) = 1aiil(bi - sumjneq iaij,xj^(k)r)
Aplicando em cada linha de x1 = -tfrac15,(x2 + x3 + x4), x2 = tfrac14,(2 - 2,x1 + x3), x3 = tfrac14,(2 - x1 - x2 - x4), x4 = tfrac14,(9 - x2 - 2,x3) :
Como é estritamente dominante, a matriz de iteração tem raio espectral <1 e converge.

Passo 4

(b) Duas iterações de Jacobi, com x1^(1) &= -tfrac15(0+0+0)=0, x2^(1) &= tfrac14(2 -0+0)=0.5, x3^(1) &= tfrac14(2 -0 -0 -0)=0.5, x4^(1) &= tfrac14(9 -0 -2cdot0.5)=2 :
Iteração k=1:
x1^(2) &= -tfrac15(0.5+0.5+2)=-0.6, x2^(2) &= tfrac14(2 -2cdot0+0.5)=0.625, x3^(2) &= tfrac14(2 -0 -0.5 -2)=-0.125, x4^(2) &= tfrac14(9 -0.5 -2cdot0.5)=1.875
Iteração k=2:

Passo 5

© Método de Gauss-Seidel
Para GS, usamos a mesma reordenação e a fórmula
xi^(k+1) = 1aiil(bi - sumjiaij,xj^(k)r)
Como continuamos com a matriz estritamente diagonal dominante, a convergência também está garantida.

Passo 6

Duas iterações de Gauss-Seidel com x1^(1) &= -tfrac15(0+0+0)=0, x2^(1) &= tfrac14(2 -2cdot0 +0)=0.5, x3^(1) &= tfrac14(2 -0 -0.5 -0)=0.375, x4^(1) &= tfrac14(9 -0.5 -2cdot0.375)=1.9375 :
Iteração k=1:
x1^(2) &= -tfrac15(0.5+0.375+1.9375)=-0.5625, x2^(2) &= tfrac14(2 -2cdot(-0.5625)+0.375)=0.875, x3^(2) &= tfrac14(2 -(-0.5625)-0.875 -1.9375)=-0.0625, x4^(2) &= tfrac14(9 -0.875 -2cdot(-0.0625))=2.0625
Iteração k=2:

Resposta

Gauss-Jacobi:
x⁽¹⁾ = (0, 0.5, 0.5, 2)ᵀ,
x⁽²⁾ = (–0.6, 0.625, –0.125, 1.875)ᵀ.
Gauss-Seidel:
x⁽¹⁾ = (0, 0.5, 0.375, 1.9375)ᵀ,
x⁽²⁾ = (–0.5625, 0.875, –0.0625, 2.0625)ᵀ.

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