Seja o sistema linear
l x1+3 x2-x3=-2, 5 x1+2 x2+2 x3=3, 6 x2+8 x3=-6
É possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas?

Passo 1

Beleza, aqui temos um sistema de três equações lineares em três incógnitas, escrito assim:
x1 + 3x2 - x3 = -2, 5x1 + 2x2 + 2x3 = 3, 6x2 + 8x3 = -6
O assunto é “métodos iterativos para resolver sistemas lineares” e, em particular, queremos usar o método de Jacobi.
O que a gente precisa para responder se ele vai convergir é aplicar o critério das linhas (ou critério de dominância diagonal por linhas). Em resumo:
– Teoria que vamos usar: Uma condição suficiente de convergência do método de Jacobi é que cada linha da matriz de coeficientes seja estritamente diagonal dominante, isto é, para cada linha |aii| ;>;sumjneq i |aij| :

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz de coeficientes A = 1 & 3 & -1 5 & 2 & 2 0 & 6 & 8 e identificamos os elementos de cada linha:
Aqui, para a linha , é o elemento da diagonal e os outros são os “fora da diagonal”.

Passo 3

Aplicamos o teste de dominância linha a linha:
  • Linha 1: . Soma dos outros na linha 1 é .
    Critério: .
    Isso não vale (1 não é maior que 4).
  • Linha 2: . Soma dos outros: .
    Critério: .
    Também não vale.
  • Linha 3: . Soma dos outros: .
    Critério: .
    Aqui vale, mas precisamos que todas as linhas satisfaçam para garantir convergência.

Passo 4

Como as linhas 1 e 2 não são estritamente diagonalmente dominantes, o critério das linhas falha. E esse critério é apenas suficiente: se não for satisfeito, a gente não tem garantia de que o método de Jacobi vai convergir.

Resposta

Não é possível afirmar que o Método de Jacobi seja convergente para este sistema usando o critério das linhas, pois duas das três linhas não são estritamente diagonalmente dominantes.

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