Seja o sistema linear
[lll k & 3 & 1 k & 7 & 1 1 & 6 & 8 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 2 3 ]
Escolha o menor número inteiro, positivo, para k e realize duas iterações do método de Gauss-Seidel.

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha o menor inteiro positivo k & 3 & 1 k & 7 & 1 1 & 6 & 8 x1x2x3 = 123, para que o método de Gauss–Seidel convirja no sistema
[

,
]
e depois faça duas iterações de Gauss–Seidel com aproximação inicial .
Conteúdo: métodos iterativos para sistemas lineares (Gauss–Seidel) e critério de convergência (dominância diagonal). Vamos precisar:
  1. Testar dominância diagonal para achar .
  2. Montar as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel.
  3. Calcular duas iterações a partir de .

Passo 2

Teoria de convergência (dominância diagonal):
Um sistema |aii| ;>;sumjneq i|aij| converge por Gauss–Seidel se, por exemplo, cada linha de for estritamente diagonal dominante, isto é, para todo
No nosso caso:
  • Linha 1: .
  • Linha 2: .
  • Linha 3: , já vale.
    Logo, o menor inteiro positivo que satisfaz tudo é .

Passo 3

Montando as fórmulas de Gauss–Seidel para A=5&3&15&7&11&6&8, b=123 :
A matriz e o vetor direito são
x1^(n+1) &= 1 - 3,x2^(n) - 1,x3^(n)5, x2^(n+1) &= 2 - 5,x1^(n+1) - 1,x3^(n)7, x3^(n+1) &= 3 - 1,x1^(n+1) - 6,x2^(n+1)8
As fórmulas iterativas (usando sempre os valores já atualizados) são:

Passo 4

Primeira iteração ( x1^(1) &= 1 - 3cdot0 - 1cdot05 = 0.2, x2^(1) &= 2 - 5cdot0.2 - 1cdot07 = 2-17 = 17approx 0.1428571, x3^(1) &= 3 - 1cdot0.2 - 6cdot0.14285718 = 3 -0.2 -0.85714268 approx 0.2428572 , ):

Passo 5

Segunda iteração ( x1^(2) &= 1 - 3cdot0.1428571 - 1cdot0.24285725 = 1 -0.4285713 -0.24285725 approx 0.0657143, x2^(2) &= 2 - 5cdot0.0657143 - 1cdot0.24285727 = 2 -0.3285715 -0.24285727 approx 0.2040816, x3^(2) &= 3 - 1cdot0.0657143 - 6cdot0.20408168 = 3 -0.0657143 -1.22448968 approx 0.2137245 ):

Resposta

k = 5
Após duas iterações de Gauss–Seidel, temos
x^(1)approx(0.2,;0.1428571,;0.2428572), x^(2)approx(0.0657143,;0.2040816,;0.2137245)

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