Seja o sistema linear
[lll k & 3 & 1 k & 7 & 1 1 & 6 & 8 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 2 3 ]
Repita o exercício utilizando o critério de Sassenfeld.

Passo 1

E aí, beleza? A questão é sobre o sistema linear
[
k & 3 & 1 k & 7 & 1 1 & 6 & 8 x1x2x3 = 123


]
O conteúdo é o critério de Sassenfeld, que serve pra saber se o método de Gauss–Seidel vai convergir. Vamos precisar calcular os coeficientes do critério e exigir .

Passo 2

Primeiro, lembre do enunciado do critério de Sassenfeld: para cada linha betai =sumj=1^i-1|aij||aii|,betaj +sumj=i+1^n|aij||aii| da matriz , define-se
Se , então o Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Vamos calcular beta1 =|3||k|+|1||k| =4|k| em ordem:
  1. beta2 =|k||7|,beta1+|1|7 =|k|7cdot4|k|+17 =4+17 =57 : não há termos com beta3 =|1|8,beta1 +|6|8,beta2 =18cdot4|k| +68cdot57 =4/|k|8+30/78 =48,|k|+3056 =48|k|+1528 antes, só o somatório na 1ª linha
  2. : usa (j=1) e depois só o termo j=3 sem
  3. : usa e (j=1,2)

Passo 4

Para haver convergência, precisamos
beta1<1, beta2<1, beta3<1
48|k|+1528<1 Longrightarrow 48|k|<1-1528 =28-1528=1328 Longrightarrow 1|k|<1328cdot84 =1314 Longrightarrow |k|>1413approx1.08
já é , ok sempre.
Entre as duas condições e , a mais forte é .

Resposta

O método de Gauss–Seidel (avaliado pelo critério de Sassenfeld) converge se, e somente se,
boxed|k|>4

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