Faça a mudança de base sugerida:
Base 10 para a base binária considerando: (34),(0,125),(33,023),(13,13);

Passo 1

O enunciado pede para fazer a mudança de base de decimal (base 10) para binário (base 2) para os números abaixo (a vírgula indica separador decimal):
  • (34)
  • (0,125)
  • (33,023)
  • (13,13)
Informações relevantes dadas:
  • Cada número está em base 10.
  • Deve-se fornecer a representação em base 2 (binária).
  • Para números com parte fracionária, espera-se usar o procedimento padrão de conversão de frações decimais para binário (que pode gerar expansões finitas ou infinitas/periódicas).

Passo 2

Explicação e método para converter a parte inteira de um número decimal para binário:
  • Método: divisões sucessivas por 2. Em cada divisão, anotar o resto (que será 0 ou 1). A representação binária da parte inteira é obtida lendo-se os restos de baixo para cima (do último quociente não-nulo até o primeiro resto).
  • Por que funciona: escrever um número inteiro N em base 2 corresponde a expressá-lo como soma de potências de 2; as divisões por 2 extraem bit a bit essas potências.
    Vou aplicar isso a cada parte inteira dos números pedidos.
Converter (34)_{10} (parte inteira 34):
  • 34 \div 2 = 17 resto 0
  • 17 \div 2 = 8 resto 1
  • 8 \div 2 = 4 resto 0
  • 4 \div 2 = 2 resto 0
  • 2 \div 2 = 1 resto 0
  • 1 \div 2 = 0 resto 1
    Lendo restos de baixo para cima: 100010.
    Portanto a parte inteira 34 vira 100010_2.
Converter a parte inteira de (33,023)_{10}, que é 33:
  • 33 \div 2 = 16 resto 1
  • 16 \div 2 = 8 resto 0
  • 8 \div 2 = 4 resto 0
  • 4 \div 2 = 2 resto 0
  • 2 \div 2 = 1 resto 0
  • 1 \div 2 = 0 resto 1
    Lendo restos: 100001.
    Portanto 33 = 100001_2.
Converter a parte inteira de (13,13)_{10}, que é 13:
  • 13 \div 2 = 6 resto 1
  • 6 \div 2 = 3 resto 0
  • 3 \div 2 = 1 resto 1
  • 1 \div 2 = 0 resto 1
    Lendo restos: 1101.
    Portanto 13 = 1101_2.
A parte inteira de (0,125) é 0, que em binário é 0_2.

Passo 3

Explicação e método para converter a parte fracionária decimal para binário:
  • Método: multiplicar a parte fracionária por 2. O inteiro obtido em cada multiplicação (ou seja, a parte antes da vírgula) é o próximo bit binário da fração; continuar com a nova parte fracionária (a parte após a vírgula) e repetir até obter 0 (termina) ou até obter os bits desejados (se for não-terminante, produzir aproximação).
  • Por que funciona: a expansão binária da parte fracionária usa potências negativas de 2 ( 2^{-1},2^{-2},\dots). Multiplicar por 2 desloca esses termos e expõe o coeficiente da maior potência ainda não extraída.
Vou aplicar isso aos casos simples primeiro.
Converter (0,125)_{10}:
  • Parte fracionária inicial: 0,125.
  1. 0{,}125 \times 2 = 0{,}25 → inteiro 0 (primeiro bit)
  2. 0{,}25 \times 2 = 0{,}5 → inteiro 0 (segundo bit)
  3. 0{,}5 \times 2 = 1{,}0 → inteiro 1 (terceiro bit) e a nova fração é 0 → termina.
    Bits coletados, na ordem: 0,0,1. Assim (0,125)_{10} = (0,001)_2.
    Comentário didático: 0{,}125 = \dfrac{1}{8} = 2^{-3}, por isso a expansão binária termina em três bits.

Passo 4

Converter a parte fracionária de (33,023)_{10}: aqui a fração é 0{,}023 = \dfrac{23}{1000}.
  • Observação importante (matemática prática): uma fração decimal que tem no denominador fatores primos além de 2 (por exemplo 5) não terá expansão finita em base 2. Como 1000 = 2^{3}\cdot 5^{3}, a expansão binária de 0{,}023 é não-terminante (periódica).
  • Ainda assim, podemos obter uma aproximação binária calculando os primeiros bits pelo método de multiplicação por 2 — mais estável numericamente é trabalhar com a fração \dfrac{23}{1000} e, em cada passo, dobrar o numerador e tomar o quociente inteiro pela razão 1000.
Calculemos os primeiros 20 bits (para a prova é comum pedir uma aproximação com número razoável de bits); aqui faço passo a passo com numerador/denominador:
Denominador =1000. Começo com numerador =23.
  1. 2\cdot 23 = 46 <1000 → bit 0, novo numerador 46.
  2. 2\cdot 46 = 92 <1000 → bit 0, num 92.
  3. 2\cdot 92 = 184 → bit 0, num 184.
  4. 2\cdot 184 = 368 → bit 0, num 368.
  5. 2\cdot 368 = 736 → bit 0, num 736.
  6. 2\cdot 736 = 1472 \ge 1000 → bit 1, num 1472-1000=472.
  7. 2\cdot 472 = 944 → bit 0, num 944.
  8. 2\cdot 944 = 1888 \ge1000 → bit 1, num 888.
  9. 2\cdot 888 = 1776 \ge1000 → bit 1, num 776.
  10. 2\cdot 776 = 1552 \ge1000 → bit 1, num 552.
  11. 2\cdot 552 = 1104 \ge1000 → bit 1, num 104.
  12. 2\cdot 104 = 208 → bit 0, num 208.
  13. 2\cdot 208 = 416 → bit 0, num 416.
  14. 2\cdot 416 = 832 → bit 0, num 832.
  15. 2\cdot 832 = 1664 \ge1000 → bit 1, num 664.
  16. 2\cdot 664 = 1328 \ge1000 → bit 1, num 328.
  17. 2\cdot 328 = 656 <1000 → bit 0, num 656.
  18. 2\cdot 656 = 1312 \ge1000 → bit 1, num 312.
  19. 2\cdot 312 = 624 <1000 → bit 0, num 624.
  20. 2\cdot 624 = 1248 \ge1000 → bit 1, num 248.
Bits coletados (1 a 20): 0\,0\,0\,0\,0\,1\,0\,1\,1\,1\,1\,0\,0\,0\,1\,1\,0\,1\,0\,1.
Portanto, aproximação com 20 bits:
0{,}023_{10} \approx 0{,}00000101111000110101_2\\ (\text{aprox.})
Observação final: a expansão é não-terminante e periódica; aqui forneci uma aproximação truncada a 20 bits. Para usar na prova, se for necessário maior precisão, calcule mais passos; para responder que é não-terminante, pode justificar pelo fator 5 no denominador 1000.

Passo 5

Converter a parte fracionária de (13,13)_{10}: a fração é 0{,}13 = \dfrac{13}{100}.
  • Novamente, 100 = 2^{2}\cdot 5^{2} contém o fator 5, logo a expansão binária é não-terminante (periódica). Vou calcular os primeiros 22 bits por repetidas duplicações do numerador (denominador =100, numerador inicial =13):
Passos:
  1. 2\cdot13=26 <100 → bit 0, num 26.
  2. 2\cdot26=52 <100 → bit 0, num 52.
  3. 2\cdot52=104 \ge100 → bit 1, num 4.
  4. 2\cdot4=8 <100 → bit 0, num 8.
  5. 2\cdot8=16 → bit 0, num 16.
  6. 2\cdot16=32 → bit 0, num 32.
  7. 2\cdot32=64 → bit 0, num 64.
  8. 2\cdot64=128 \ge100 → bit 1, num 28.
  9. 2\cdot28=56 → bit 0, num 56.
  10. 2\cdot56=112 \ge100 → bit 1, num 12.
  11. 2\cdot12=24 → bit 0, num 24.
  12. 2\cdot24=48 → bit 0, num 48.
  13. 2\cdot48=96 → bit 0, num 96.
  14. 2\cdot96=192 \ge100 → bit 1, num 92.
  15. 2\cdot92=184 \ge100 → bit 1, num 84.
  16. 2\cdot84=168 \ge100 → bit 1, num 68.
  17. 2\cdot68=136 \ge100 → bit 1, num 36.
  18. 2\cdot36=72 → bit 0, num 72.
  19. 2\cdot72=144 \ge100 → bit 1, num 44.
  20. 2\cdot44=88 → bit 0, num 88.
  21. 2\cdot88=176 \ge100 → bit 1, num 76.
  22. 2\cdot76=152 \ge100 → bit 1, num 52.
Note que em passo 2 obtivemos num 52 — em passo 22 voltamos a 52: isso sinaliza que a sequência de numeradores entrou em ciclo, portanto a expansão binária é periódica. Bits 1…22 recolhidos:
0\,0\,1\,0\,0\,0\,0\,1\,0\,1\,0\,0\,0\,1\,1\,1\,1\,0\,1\,0\,1\,1.
Assim uma aproximação (22 bits) é:
0{,}13_{10} \approx 0{,}0010000101000111101011_2\\ (\text{aprox.})
E podemos afirmar que a expansão é periódica (não-terminante) porque o denominador contém fator 5. O ciclo observado (retorno ao numerador 52) permite, se desejado, descobrir o período exato, mas isso já mostra a periodicidade.

Passo 6

Juntar parte inteira e parte fracionária para formar os números binários finais (usando as partes inteiras exatas e as aproximações fracionárias quando a expansão é não-terminante):
  • (34)_{10} tem parte inteira 100010_2 e sem fração: resultado exato (100010)_2.
  • (0,125)_{10} deu (0,001)_2 exato.
  • (33,023)_{10} = parte inteira 100001_2 e parte fracionária aproximada com 20 bits 0{,}00000101111000110101_2. Logo aproximação:
33{,}023_{10} \approx 100001{,}00000101111000110101_2.
  • (13,13)_{10} = parte inteira 1101_2 e parte fracionária aproximada com 22 bits 0{,}0010000101000111101011_2. Logo aproximação:
13{,}13_{10} \approx 1101{,}0010000101000111101011_2.
Dica prática para prova:
  • Se o problema pede “representação exata” e a fração decimal tem denominador com fator 5 (além de 2), diga que a expansão binária é infinita/periódica e dê uma aproximação com um número apropriado de bits, justificando a periodicidade mencionando os fatores primos do denominador.

Resposta

34_{10} = 100010_2
0{,}125_{10} = 0{,}001_2
33{,}023_{10} \approx 100001{,}00000101111000110101_2
13{,}13_{10} \approx 1101{,}0010000101000111101011_2

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