Faça a mudança de base sugerida:
Base 10 para a base binária considerando:
;
Base 10 para a base binária considerando:
Passo 1
O enunciado pede para fazer a mudança de base de decimal (base 10) para binário (base 2) para os números abaixo (a vírgula indica separador decimal):
Informações relevantes dadas:
- Cada número está em base 10.
- Deve-se fornecer a representação em base 2 (binária).
- Para números com parte fracionária, espera-se usar o procedimento padrão de conversão de frações decimais para binário (que pode gerar expansões finitas ou infinitas/periódicas).
Passo 2
Explicação e método para converter a parte inteira de um número decimal para binário:
- Método: divisões sucessivas por
. Em cada divisão, anotar o resto (que será ou ). A representação binária da parte inteira é obtida lendo-se os restos de baixo para cima (do último quociente não-nulo até o primeiro resto). - Por que funciona: escrever um número inteiro
em base 2 corresponde a expressá-lo como soma de potências de ; as divisões por extraem bit a bit essas potências.
Vou aplicar isso a cada parte inteira dos números pedidos.
Converter
(parte inteira
):
-
resto -
resto -
resto -
resto -
resto -
resto
Lendo restos de baixo para cima:.
Portanto a parte inteiravira .
Converter a parte inteira de
, que é
:
-
resto -
resto -
resto -
resto -
resto -
resto
Lendo restos:.
Portanto.
Converter a parte inteira de
, que é
:
-
resto -
resto -
resto -
resto
Lendo restos:.
Portanto.
A parte inteira de
é
, que em binário é
.
Passo 3
Explicação e método para converter a parte fracionária decimal para binário:
- Método: multiplicar a parte fracionária por
. O inteiro obtido em cada multiplicação (ou seja, a parte antes da vírgula) é o próximo bit binário da fração; continuar com a nova parte fracionária (a parte após a vírgula) e repetir até obter (termina) ou até obter os bits desejados (se for não-terminante, produzir aproximação). - Por que funciona: a expansão binária da parte fracionária usa potências negativas de
( ). Multiplicar por desloca esses termos e expõe o coeficiente da maior potência ainda não extraída.
Vou aplicar isso aos casos simples primeiro.
Converter
:
- Parte fracionária inicial:
.
-
→ inteiro (primeiro bit) -
→ inteiro (segundo bit) -
→ inteiro (terceiro bit) e a nova fração é → termina.
Bits coletados, na ordem:. Assim .
Comentário didático:, por isso a expansão binária termina em três bits.
Passo 4
Converter a parte fracionária de
: aqui a fração é
.
- Observação importante (matemática prática): uma fração decimal que tem no denominador fatores primos além de
(por exemplo ) não terá expansão finita em base . Como , a expansão binária de é não-terminante (periódica). - Ainda assim, podemos obter uma aproximação binária calculando os primeiros bits pelo método de multiplicação por
— mais estável numericamente é trabalhar com a fração e, em cada passo, dobrar o numerador e tomar o quociente inteiro pela razão .
Calculemos os primeiros 20 bits (para a prova é comum pedir uma aproximação com número razoável de bits); aqui faço passo a passo com numerador/denominador:
Denominador . Começo com numerador
.
Denominador
-
→ bit , novo numerador . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num .
Bits coletados (1 a 20):
.
Portanto, aproximação com 20 bits:
Observação final: a expansão é não-terminante e periódica; aqui forneci uma aproximação truncada a 20 bits. Para usar na prova, se for necessário maior precisão, calcule mais passos; para responder que é não-terminante, pode justificar pelo fator
no denominador
.
Passo 5
Converter a parte fracionária de
: a fração é
.
- Novamente,
contém o fator , logo a expansão binária é não-terminante (periódica). Vou calcular os primeiros 22 bits por repetidas duplicações do numerador (denominador , numerador inicial ):
Passos:
-
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num . -
→ bit , num .
Note que em passo 2 obtivemos num
— em passo 22 voltamos a
: isso sinaliza que a sequência de numeradores entrou em ciclo, portanto a expansão binária é periódica. Bits 1…22 recolhidos:
.
Assim uma aproximação (22 bits) é:
E podemos afirmar que a expansão é periódica (não-terminante) porque o denominador contém fator
. O ciclo observado (retorno ao numerador
) permite, se desejado, descobrir o período exato, mas isso já mostra a periodicidade.
Passo 6
Juntar parte inteira e parte fracionária para formar os números binários finais (usando as partes inteiras exatas e as aproximações fracionárias quando a expansão é não-terminante):
-
tem parte inteira e sem fração: resultado exato . -
deu exato. -
parte inteira e parte fracionária aproximada com 20 bits . Logo aproximação:
-
parte inteira e parte fracionária aproximada com 22 bits . Logo aproximação:
Dica prática para prova:
- Se o problema pede “representação exata” e a fração decimal tem denominador com fator
(além de ), diga que a expansão binária é infinita/periódica e dê uma aproximação com um número apropriado de bits, justificando a periodicidade mencionando os fatores primos do denominador.