Seja a tabela:
Usando um polinômio interpolador de grau 2, trabalhe de dois modos diferentes para obter o valor estimado de
para o qual
. Dê uma estimativa do erro cometido em cada caso, se possível.
Passo 1
Beleza, a questão diz que a gente tem uma tabela de pontos
e pede pra achar o valor de
tal que
, usando dois polinômios interpoladores de grau 2 (cada um com três pontos diferentes) e, se der, estimar o erro em cada caso.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange e Newton), resolver polinômio igual a 0,23 e comparar resultados pra ter uma noção do erro.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange e Newton), resolver polinômio igual a 0,23 e comparar resultados pra ter uma noção do erro.
Passo 2
Primeiro modo: escolho os três pontos em volta de
, isto é
,
e
.
Como as diferenças divididas de primeira ordem dão sempre
Como as diferenças divididas de primeira ordem dão sempre
a segunda diferença dividida
fala que esse polinômio de grau 2 vira na prática uma reta.
No formato de Newton:
No formato de Newton:
Agora imponho
:
Passo 3
Segundo modo: escolho os três pontos logo acima:
,
e
.
Calculo as diferenças divididas:
Calculo as diferenças divididas:
No formato de Newton:
Para achar
tal que
, monto a equação:
Depois de expandir e organizar, fica
Das duas raízes, a que faz sentido no nosso intervalo é
Passo 4
Estimativa de erro: como não temos a derivada de terceira ordem exata, uma tática simples é comparar as duas aproximações.
Elas deram e
, diferença de
.
Então a gente pode dizer que o erro em cada método é da ordem de .
Uma estimativa razoável é usar metade dessa diferença, isto é .
Elas deram
Então a gente pode dizer que o erro em cada método é da ordem de
Uma estimativa razoável é usar metade dessa diferença, isto é
Resposta
A estimativa de
tal que
fica entre
– pelo primeiro polinômio: ,
– pelo segundo polinômio: .
Uma boa aproximação final é
– pelo primeiro polinômio:
– pelo segundo polinômio:
Uma boa aproximação final é