Seja a tabela:
c|cccccc x & 0,15 & 0,20 & 0,25 & 0,30 & 0,35 & 0,40 hline f(x) & 0,12 & 0,16 & 0,19 & 0,22 & 0,25 & 0,27
Usando um polinômio interpolador de grau 2, trabalhe de dois modos diferentes para obter o valor estimado de x para o qual f(x)=0,23. Dê uma estimativa do erro cometido em cada caso, se possível.

Passo 1

Beleza, a questão diz que a gente tem uma tabela de pontos
c|cccccc x & 0,15 & 0,20 & 0,25 & 0,30 & 0,35 & 0,40 hline f(x) & 0,12 & 0,16 & 0,19 & 0,22 & 0,25 & 0,27
e pede pra achar o valor de tal que , usando dois polinômios interpoladores de grau 2 (cada um com três pontos diferentes) e, se der, estimar o erro em cada caso.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange e Newton), resolver polinômio igual a 0,23 e comparar resultados pra ter uma noção do erro.

Passo 2

Primeiro modo: escolho os três pontos em volta de 0,22-0,190,30-0,25 =0,25-0,220,35-0,30=0,6, , isto é
0,6-0,60,35-0,25=0 , p1(x) =0,19 + 0,6,(x-0,25) + 0,(x-0,25)(x-0,30) =0,6,x+0,04 e 0,6,x+0,04=0,23 Longrightarrow x=0,23-0,040,6=0,3166approx0,3167 .
Como as diferenças divididas de primeira ordem dão sempre
a segunda diferença dividida
fala que esse polinômio de grau 2 vira na prática uma reta.
No formato de Newton:
Agora imponho :

Passo 3

Segundo modo: escolho os três pontos logo acima:
f[x0,x1] =0,25-0,220,35-0,30=0,6, f[x1,x2] =0,27-0,250,40-0,35=0,4, , f[x0,x1,x2] =0,4-0,60,40-0,30=-2 e p2(x) =0,22 + 0,6,(x-0,30) -2,(x-0,30)(x-0,35) .
Calculo as diferenças divididas:
0,22 +0,6(x-0,30)-2(x-0,30)(x-0,35)=0,23
2x^2 -1,9x +0,40 = 0 Longrightarrow x=1,9pmraiz1,9^2-4cdot2cdot0,44 =1,9pmraiz0,414
No formato de Newton:
xapprox1,9-0,64034=0,3149
Para achar tal que , monto a equação:
Depois de expandir e organizar, fica
Das duas raízes, a que faz sentido no nosso intervalo é

Passo 4

Estimativa de erro: como não temos a derivada de terceira ordem exata, uma tática simples é comparar as duas aproximações.
Elas deram e , diferença de .
Então a gente pode dizer que o erro em cada método é da ordem de .
Uma estimativa razoável é usar metade dessa diferença, isto é .

Resposta

A estimativa de boxedxapprox0,3158pm0,0009 tal que fica entre
– pelo primeiro polinômio: ,
– pelo segundo polinômio: .
Uma boa aproximação final é

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