Seja uma tabela dada por:
x 0,20 0,34 0,40 0,52 0,60 0,72
f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37
Calcule uma aproximação de f(0,47) usando um polinômio interpolador de Lagrange de ordem 2.

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente aproximar o valor de usando um polinômio interpolador de Lagrange de ordem 2, isto é, um polinômio quadrático. O conteúdo aqui é “interpolação polinomial via fórmula de Lagrange”. Para resolver, vamos precisar:
  • Escolher três pontos da tabela mais próximos de .
  • Lembrar a fórmula do polinômio de Lagrange de grau 2 e das funções base .
  • Calcular passo a passo esses e depois somar .

Passo 2

Escolhemos os três x0 &= 0,34, f(x0)=0,22, x1 &= 0,40, f(x1)=0,27, x2 &= 0,52, f(x2)=0,29 cujas distâncias a 0,47 são as menores. Da tabela:

Passo 3

A fórmula geral do interpolador de Lagrange de grau 2 é
P2(x) = sumi=0^2 f(xi),Li(x),
onde cada base é
Li(x)= prodsubstackj=0jneq i^2 x - xjxi - xj

Passo 4

Vamos calcular x0-x1 &= 0,34 - 0,40 = -0,06, x0-x2 &= 0,34 - 0,52 = -0,18, x1-x0 &= 0,06, x1-x2 = 0,40 - 0,52 = -0,12, x2-x0 &= 0,18, x2-x1 = 0,52 - 0,40 = 0,12 , L0(0,47) &=(0,47-0,40),(0,47-0,52) (-0,06),(-0,18) =0,07cdot(-0,05)0,0108 approx -0,324074, L1(0,47) &=(0,47-0,34),(0,47-0,52) (0,06),(-0,12) =0,13cdot(-0,05)-0,0072 approx 0,902778, L2(0,47) &=(0,47-0,34),(0,47-0,40) (0,18),(0,12) =0,13cdot0,070,0216 approx 0,421296 e .
Primeiro, os denominadores:
Agora cada :

Passo 5

Finalmente, montamos
P2(0,47) =0,22cdot(-0,324074) +0,27cdot0,902778 +0,29cdot0,421296 approx0,295

Resposta

Aproximação de boxed0,295 pelo polinômio de Lagrange de ordem 2:

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