Seja uma tabela dada por:
x 0,20 0,34 0,40 0,52 0,60 0,72
f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37
Usando apenas os 4 últimos pontos da tabela, estime o valor de f(0,8) com o ajuste pela reta dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede para usarmos só os 4 últimos pontos da tabela
(x, f(x)) = (0,40; 0,27), (0,52; 0,29), (0,60; 0,32) e (0,72; 0,37)
para estimar f(0,8) através de uma reta de mínimos quadrados.
Conteúdo: ajuste linear (regressão linear simples)
O que vamos precisar:
  • Fórmulas de soma (Σ) para x, y, x², x·y
  • Fórmula do coeficiente angular (a) e do coeficiente linear (b) da reta
  • Depois é só calcular y(0,8)=a·0,8+b

Passo 2

Primeiro, calculamos as somas necessárias. Vamos chamar y=f(x).
Temos n=4 pontos.
Σx = 0,40 + 0,52 + 0,60 + 0,72 = 2,24
Σy = 0,27 + 0,29 + 0,32 + 0,37 = 1,25
Σx² = 0,40² + 0,52² + 0,60² + 0,72²
= 0,16 + 0,2704 + 0,36 + 0,5184
= 1,3088
Σ(x·y) = 0,40·0,27 + 0,52·0,29 + 0,60·0,32 + 0,72·0,37
= 0,108 + 0,1508 + 0,192 + 0,2664
= 0,7172

Passo 3

Agora a gente usa a fórmula do coeficiente angular a:
a ;=;n,sum(xy);-;sum x,sum y n,sum(x^2);-;(sum x)^2
Substituindo:
a = 4cdot0,7172 ;-;2,24cdot1,25 4cdot1,3088 ;-;(2,24)^2 = 2,8688 - 2,80005,2352 - 5,0176 = 0,06880,2176 approx 0,3164

Passo 4

Para o coeficiente linear b, usamos
b ;=; sum y ;-; a,sum xn
Logo:
b = 1,25 ;-;0,3164cdot2,244 = 1,25 - 0,70864 = 0,54144 approx 0,1354

Passo 5

Já temos a reta de regressão:
hat f(x) = a,x + b approx 0,3164,x + 0,1354
Então para x=0,8:
hat f(0,8) = 0,3164cdot0,8 + 0,1354 = 0,2531 + 0,1354 = 0,3885

Resposta

A estimativa pelo ajuste linear dos mínimos quadrados é
boxedf(0,8) approx 0,3885

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