Seja uma tabela dada por:
x 0,8 0,9 1,0 1,1 1,3 1,5
f(x) 0,6967 0,6216 0,5403 0,4536 0,2675 0,0707
Calcule f(1,05) usando polinômio de interpolação cúbica de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a gente tem:
Você recebeu uma tabela de valores
c|cccccc x & 0,8 & 0,9 & 1,0 & 1,1 & 1,3 & 1,5hline f(x) & 0,6967 & 0,6216 & 0,5403 & 0,4536 & 0,2675 & 0,0707
e quer calcular f(1,05) usando o polinômio de interpolação cúbica de Lagrange.
Conteúdo envolvido: interpolação polinomial (grau 3) – vamos precisar de 4 pontos para montar esse polinômio e da fórmula de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, escolhemos os quatro pontos mais “próximos” de x=1,05 para garantir que a aproximação fique boa. Olhando as distâncias:
- |1,05–1,0| = 0,05
- |1,05–1,1| = 0,05
- |1,05–0,9| = 0,15
- |1,05–1,3| = 0,25
Então usamos (x0,f0)=(0,9,0,6216),,(x1,f1)=(1,0,0,5403),,(x2,f2)=(1,1,0,4536),,(x3,f3)=(1,3,0,2675)
Teoria rápida: o polinômio de Lagrange de grau 3 é
P3(x)=sumi=0^3 fi,Li(x),
onde
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^3x-xjxi-xj

Passo 3

Vamos calcular cada Li(1,05). Primeiro os denominadores (constantes):
D0&=(0,9-1,0)(0,9-1,1)(0,9-1,3)=(-0,1)(-0,2)(-0,4)=-0,008, D1&=(1,0-0,9)(1,0-1,1)(1,0-1,3)=(0,1)(-0,1)(-0,3)=0,003, D2&=(1,1-0,9)(1,1-1,0)(1,1-1,3)=(0,2)(0,1)(-0,2)=-0,004, D3&=(1,3-0,9)(1,3-1,0)(1,3-1,1)=(0,4)(0,3)(0,2)=0,024
Agora os numeradores em x=1,05:
N0&=(1,05-1,0)(1,05-1,1)(1,05-1,3)=(0,05)(-0,05)(-0,25)=0,000625, N1&=(1,05-0,9)(1,05-1,1)(1,05-1,3)=(0,15)(-0,05)(-0,25)=0,001875, N2&=(1,05-0,9)(1,05-1,0)(1,05-1,3)=(0,15)(0,05)(-0,25)=-0,001875, N3&=(1,05-0,9)(1,05-1,0)(1,05-1,1)=(0,15)(0,05)(-0,05)=-0,000375
Logo
Li(1,05)=NiDi, i=0,1,2,3

Passo 4

Calculando de fato:
L0(1,05)&=0,000625-0,008=-0,078125, L1(1,05)&=0,0018750,003=0,625, L2(1,05)&=-0,001875-0,004=0,46875, L3(1,05)&=-0,0003750,024=-0,015625

Passo 5

Agora o polinômio no ponto 1,05:
P3(1,05)&=f0,L0(1,05)+f1,L1(1,05)+f2,L2(1,05)+f3,L3(1,05) &=0,6216cdot(-0,078125)+0,5403cdot0,625+0,4536cdot0,46875+0,2675cdot(-0,015625) &approx -0,04856+0,33769+0,21263-0,00418 &approx0,49757

Resposta

f(1,05)approx0,49757

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