Seja z=r(cos theta+i cdot sin theta), com r>0 e i^2=-1. Mostrar que z^n=r^n(cos n theta+i cdot sin n theta), forall n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um número complexo na forma trigonométrica
z = rl(costheta + i,sinthetar), r>0,;i^2=-1
O objetivo é provar a fórmula de De Moivre:
z^n = r^nl(cos(ntheta) + i,sin(ntheta)r) forall,ninN
Conteúdo envolvido: representação polar de complexos, multiplicação na forma trigonométrica e princípio de indução. Vamos precisar entender como multiplicar dois números na forma r(cosalpha+isinalpha) e usar indução em n.

Passo 2

Primeiro, vamos ao caso base n=1.
Se n=1, temos
z^1 = z = rl(costheta + i,sinthetar)
Por outro lado, a fórmula de De Moivre daria
r^1l(cos(1cdottheta) + i,sin(1cdottheta)r) = rl(costheta + i,sinthetar)
Então o enunciado bate certinho para n=1. Base feita!

Passo 3

Agora vem a passada de indução.
  1. Hipótese de indução: suponha que para algum k>=1 valha z^k = r^kl(cos(ktheta) + i,sin(ktheta)r)
    2) Vamos mostrar que isso implica
    z^k+1 = r^k+1l(cos((k+1)theta) + i,sin((k+1)theta)r)
Começamos escrevendo
z^k+1 = z^k cdot z
Usando a hipótese de indução e a definição de z,
z^k+1 = l[r^k(cos(ktheta)+i,sin(ktheta))r];times;l[r(costheta+i,sintheta)r]
Fatorando r^kcdot r = r^k+1 e multiplicando as partes trigonométricas, lembramos das identidades:
  • cos Acos B - sin Asin B = cos(A+B)
  • sin Acos B + cos Asin B = sin(A+B)
Logo
(cos(ktheta)!+!isin(ktheta))(costheta!+!isintheta) = cos(ktheta+theta) + i,sin(ktheta+theta)
Portanto
z^k+1 = r^k+1l(cos((k+1)theta) + i,sin((k+1)theta)r),
que é exatamente o que queríamos.

Resposta

Pela indução em n, mostramos que para todo ninN vale
boxedz^n = r^nl(cos(ntheta) + i,sin(ntheta)r)

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