Seja
,
e
. Mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um número complexo na forma trigonométrica
O objetivo é provar a fórmula de De Moivre:
Conteúdo envolvido: representação polar de complexos, multiplicação na forma trigonométrica e princípio de indução. Vamos precisar entender como multiplicar dois números na forma
e usar indução em
.
Passo 2
Primeiro, vamos ao caso base
.
Se , temos
Se
Por outro lado, a fórmula de De Moivre daria
Então o enunciado bate certinho para
. Base feita!
Passo 3
Agora vem a passada de indução.
- Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
2) Vamos mostrar que isso implica
Começamos escrevendo
Usando a hipótese de indução e a definição de
,
Fatorando
e multiplicando as partes trigonométricas, lembramos das identidades:
Logo
Portanto
que é exatamente o que queríamos.
Resposta
Pela indução em
, mostramos que para todo
vale