Considere o sistema linear \mathrm{Ax}=\mathrm{b} cujas matrizes estão abaixo. Faça 3 iterações do método de Jacobi e indique a alternativa que melhor representa o erro relativo ao final da terceira iteração. Use o vetor nulo como chute inicial.
A=\left[\begin{array}{ccc} 14 & 4 & -1 \\\\ 3 & 12 & 4 \\\\ 3 & 3 & -15 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c} -3 \\\\ 14 \\\\ -1 \end{array}\right]
a. 0,0489
b. 0,0360
c. 0,3883
d. 0,0187
e. 0,2743

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b com
A = \begin{pmatrix}14 & 4 & -1\\\ 3 & 12 & 4\\\ 3 & 3 & -15\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}-3\\\ 14\\\ -1\end{pmatrix}
e pede 3 iterações do método de Jacobi a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T, além de calcular o erro relativo ao final da terceira iteração. Vamos usar a norma infinita para medir o erro relativo e a iteração de Jacobi
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).

Passo 2

Iteração 1 ( k=0\to1): como x^{(0)}=(0,0,0)^T,
x_1^{(1)} = \frac{1}{14}\bigl(-3 -4\cdot0 +1\cdot0\bigr) = -\tfrac{3}{14}\approx -0{,}2142857,
x_2^{(1)} = \frac{1}{12}\bigl(14 -3\cdot0 -4\cdot0\bigr) = \tfrac{14}{12}\approx 1{,}1666667,
x_3^{(1)} = \frac{1}{-15}\bigl(-1 -3\cdot0 -3\cdot0\bigr) = \tfrac{-1}{-15}\approx 0{,}0666667.

Passo 3

Iteração 2 ( k=1\to2): usando x^{(1)},
x_1^{(2)} = \frac{1}{14}\bigl(-3 -4\cdot1{,}1666667 +0{,}0666667\bigr)\approx -0{,}5428571,
x_2^{(2)} = \frac{1}{12}\bigl(14 -3\cdot(-0{,}2142857) -4\cdot0{,}0666667\bigr)\approx 1{,}1980159,
x_3^{(2)} = \frac{1}{-15}\bigl(-1 -3\cdot(-0{,}2142857) -3\cdot1{,}1666667\bigr)\approx 0{,}2571429.

Passo 4

Iteração 3 ( k=2\to3): usando x^{(2)},
x_1^{(3)} = \frac{1}{14}\bigl(-3 -4\cdot1{,}1980159 +0{,}2571429\bigr)\approx -0{,}5382086,
x_2^{(3)} = \frac{1}{12}\bigl(14 -3\cdot(-0{,}5428571) -4\cdot0{,}2571429\bigr)\approx 1{,}2166667,
x_3^{(3)} = \frac{1}{-15}\bigl(-1 -3\cdot(-0{,}5428571) -3\cdot1{,}1980159\bigr)\approx 0{,}1976984.

Passo 5

O erro relativo na norma infinita fica
\text{erro} = \frac{\|x^{(3)} - x^{(2)}\|_\infty}{\|x^{(3)}\|_\infty} = \frac{\max\bigl|x_i^{(3)} - x_i^{(2)}\bigr|}{\max\bigl|x_i^{(3)}\bigr|} \approx \frac{0{,}0594445}{1{,}2166667}\approx 0{,}0489.

Resposta

a. 0,0489

Exercícios relacionados