Sejam barx e bary as representações de x e y obtidas por arredondamento em um computador. Deduza expressões de limiante de erro para mostrar que o limitante do erro relativo de u=3 barx bary é menor que o de v=(barx+barx+barx) bary.

Passo 1

Beleza, aqui vai o que o exercício pede e o que vamos usar.
Enunciado resumido: temos dois números reais u = 3,bar x,bar y e v = (bar x + bar x + bar x),bar y que, quando entram no computador, viram fl(a,op,b) = (a,op,b),(1+de e por arredondamento. Queremos comparar o “limitante” (ou seja, o maior valor que pode ter) do erro relativo de
com o de
Conteúdo: aritmética de ponto flutuante e análise de erro.
O que vamos precisar:
  1. Modelo de arredondamento: toda operação satisfaz
onde é o épsilon de máquina.
2. Cada soma ou multiplicação no computador pode introduzir um fator .
3. Não vamos pular etapas: cada operação é contada e cada erro também.

Passo 2

Modelo básico de erro de arredondamento:
Se bar x = x,(1+de, então
bar y = y,(1+de
Mesma coisa para :

Passo 3

Erro relativo de p = bar x,bar y,(1+de.
Processo no computador (supondo ordem: primeiro urm comp = 3,p,(1+de, depois multiplica por 3):
  1. Calcular urm comp = 3,x,y,(1+de. urm comp-3xy3xy = (1+de
  2. Calcular |erro rel(u)| <= |de. Como 3 é exato,
  3. Agora trocamos e :
  4. Erro relativo é Aproximando só até primeira ordem (produto de vários ):

Passo 4

Erro relativo de s1 = (bar x + bar x),(1+de.
Passo a passo:
  1. Soma 1: s2 = (s1 + bar x),(1+de: s2 = 3,bar x,(1 + de
  2. Soma 2: vrm comp = s2,bar y,(1+de: vrm comp = 3,x,y,(1+deAproximando até 1ª ordem, podemos agrupar erros e dizer |erro rel(v)| <= |de
  3. Multiplicação: :
  4. Substituindo , :
  5. Erro relativo, só 1ª ordem:

Passo 5

Comparando os limitantes de erro relativo:
  • Para apareceu um máximo de .
  • Para apareceu um máximo de .
Logo, o limitante de erro relativo de (4 εₘ) é menor do que o de (5 εₘ).

Resposta

O limite de erro relativo de é , e o de é . Portanto, tem um limitante de erro relativo menor que .

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