Sejam e as representações de e y obtidas por arredondamento em um computador. Deduza expressões de limiante de erro para mostrar que o limitante do erro relativo de é menor que o de .
Passo 1
Beleza, aqui vai o que o exercício pede e o que vamos usar.
Enunciado resumido: temos dois números reais e que, quando entram no computador, viram e por arredondamento. Queremos comparar o “limitante” (ou seja, o maior valor que pode ter) do erro relativo de
com o de
Conteúdo: aritmética de ponto flutuante e análise de erro.
O que vamos precisar:
Modelo de arredondamento: toda operação satisfaz
onde é o épsilon de máquina.
2. Cada soma ou multiplicação no computador pode introduzir um fator .
3. Não vamos pular etapas: cada operação é contada e cada erro também.
Passo 2
Modelo básico de erro de arredondamento:
Se , então
Mesma coisa para :
Passo 3
Erro relativo de .
Processo no computador (supondo ordem: primeiro , depois multiplica por 3):
Calcular .
Calcular . Como 3 é exato,
Agora trocamos e :
Erro relativo éAproximando só até primeira ordem (produto de vários ):
Passo 4
Erro relativo de s1 = (bar x + bar x),(1+de.
Passo a passo:
Soma 1: s2 = (s1 + bar x),(1+de: s2 = 3,bar x,(1 + de
Soma 2: vrm comp = s2,bar y,(1+de: vrm comp = 3,x,y,(1+deAproximando até 1ª ordem, podemos agrupar erros e dizer |erro rel(v)| <= |de
Multiplicação: :
Substituindo , :
Erro relativo, só 1ª ordem:
Passo 5
Comparando os limitantes de erro relativo:
Para apareceu um máximo de .
Para apareceu um máximo de .
Logo, o limitante de erro relativo de (4 εₘ) é menor do que o de (5 εₘ).
Resposta
O limite de erro relativo de é , e o de é . Portanto, tem um limitante de erro relativo menor que .