Dado que sen(x)=x-x^33!+x^55!-x^77!+cdots, obter as aproximações de t= sen(pi4), usando os 3 , os 4 e os 5 primeiros termos da série, e determinar o erro relativo em cada caso. Resposta (para 3 termos): t=0,707143045779360 ; varepsilon rel =5,1286.10^-5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra aproximar
usando os 3, 4 e 5 primeiros termos da série de Maclaurin de , que é
E aí, depois de cada aproximação, calcular o erro relativo
t = sen!l(pi4r)
Conteúdo: série de Taylor/Maclaurin e noção de erro relativo. Vamos precisar confirmar valores de sen(x) ;=; x ;-;x^33!;+;x^55!;-;x^77!;+;x^99!;-cdots , elevar a potências e dividir por fatoriais.

Passo 2

Primeiro, lembre que
Pra cada caso “ x = pi4, sen(x) = sumn=0^infty (-1)^nx^2n+1(2n+1)! termos”, somamos de varepsilonrm rel =l|sen(tfracpi4)-hat tr|l|sen(tfracpi4)r| até . Aí obtemos e depois

Passo 3

Truncamos em hat t3 = x ;-;x^33!;+;x^55! :
hat t3 approx 0,7853981634 -0,0807455122 +0,0024903946 =0,7071430458
Com varepsilonrm rel,3 =|0,7071067812-0,7071430458|0,7071067812 approx5,1286times10^-5 :
O valor exato é .
Então

Passo 4

Agora até hat t4 =hat t3 ;-;x^77! approx0,7071430458 -0,0000365767 =0,7071064691 , incluindo varepsilonrm rel,4 =|0,7071067812-0,7071064691|0,7071067812 approx4,4160times10^-7 :
Erro relativo

Passo 5

Até hat t5 =hat t4 ;+;x^99! approx0,7071064691 +0,0000003131 =0,7071067822 , somando varepsilonrm rel,5 =|0,7071067812-0,7071067822|0,7071067812 approx1,376times10^-9 :
Erro relativo

Resposta

  • 3 termos:
  • 4 termos:
  • 5 termos:

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