Dados valores amostrais de uma função f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [3,12], considere a seguinte malha: x0=3, x1=6, x2=7 e x3=12. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximaçāo da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Po de, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinaçōes das retas secantes obtidas utilizan do-se os pontos (xi-1, yi-1) e ( xi, yi ) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -34 & 23 & 112 & 0 0 & -321 & 112 & 32 phi 0 & 0 & -14 & 14]
(B) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -56 & 45 & 130 & 0 0 & -445 & -120 & 536 0 & 0 & -14 & 14]
© [rrrr-13 & 13 & 0 & 0 -112 & -23 & 34 & 0 0 & -56 & 45 & 130 0 & 0 & -15 & 15]
[rrrr-13 & 13 & 0 & 0 -16 & 0 & 16 & 0 0 & -524 & 215 & 340 0 & 0 & -15 & 15]
(E) [rrrr-13 & 13 & 0 & 0 -121 & 112 & 328 & 0 0 & -536 & 120 & 445 0 & 0 & -15 & 15]
(F) Não sei
No. 905: VITORIA MONTEIRO QUIRINO
DRE: 123500070 p .2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para construir uma matriz que transforma os valores da função nos pontos dados nas aproximações das derivadas . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas numéricas e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as derivadas aproximadas nos pontos extremos e interiores e depois expressar essas relações em forma de matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas nos pontos extremos, ou seja, g0 = y1 - y0x1 - x0 e g0 = y1 - y06 - 3 = y1 - y03 . A fórmula para os pontos extremos é a inclinação da reta secante entre o ponto extremo e o ponto adjacente.
Para g3 = y3 - y2x3 - x2 :
g3 = y3 - y212 - 7 = y3 - y25
Com os valores dados, e , então:
Para :
Com e , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas nos pontos interiores, gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , usando a fórmula mais complexa fornecida. A fórmula geral para um ponto interior x0 = 3, x1 = 6, x2 = 7 é:
alpha1 = (7 - 6)(6 - 3)(7 - 3) = (1)(3)(4) = 12
onde:
g1 = -(7 - 6)^212 y0 + (7 - 6)^2 - (6 - 3)^212 y1 + (6 - 3)^212 y2
Vamos calcular para g1 = -112 y0 + 1 - 912 y1 + 912 y2 e g1 = -112 y0 - 812 y1 + 912 y2 .
Para g1 = -112 y0 - 23 y1 + 34 y2 :
x1 = 6, x2 = 7, x3 = 12
Calculando alpha2 = (12 - 7)(7 - 6)(12 - 6) = (5)(1)(6) = 30 :
g2 = -(12 - 7)^230 y1 + (12 - 7)^2 - (7 - 6)^230 y2 + (7 - 6)^230 y3
Agora, substituindo na fórmula de g2 = -2530 y1 + 25 - 130 y2 + 130 y3 :
g2 = -56 y1 + 2430 y2 + 130 y3
g2 = -56 y1 + 45 y2 + 130 y3
Para :
Calculando :
Substituindo na fórmula de :

Passo 4

Agora, vamos expressar cada derivada g0 = -13 y0 + 13 y1 + 0 cdot y2 + 0 cdot y3 g1 = -112 y0 - 23 y1 + 34 y2 + 0 cdot y3 g2 = 0 cdot y0 - 56 y1 + 45 y2 + 130 y3 g3 = 0 cdot y0 + 0 cdot y1 - 15 y2 + 15 y3 como uma combinação linear dos valores :

Passo 5

Com essas equações, podemos montar a matriz de transformação T = -13 & 13 & 0 & 0 -112 & -23 & 34 & 0 0 & -56 & 45 & 130 0 & 0 & -15 & 15 que relaciona com :

Resposta

A matriz que representa a transformação linear [rrrr -13 & 13 & 0 & 0 -112 & -23 & 34 & 0 0 & -56 & 45 & 130 0 & 0 & -15 & 15 ] é:
Comparando com as alternativas fornecidas, essa matriz corresponde à alternativa ©.

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