Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
para os pontos extremos,
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximaçāo da derivada,
Beleza, vamos lá! O exercício pede para construir uma matriz que transforma os valores da função nos pontos dados nas aproximações das derivadas . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas numéricas e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as derivadas aproximadas nos pontos extremos e interiores e depois expressar essas relações em forma de matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas nos pontos extremos, ou seja, g0 = y1 - y0x1 - x0 e g0 = y1 - y06 - 3 = y1 - y03 . A fórmula para os pontos extremos é a inclinação da reta secante entre o ponto extremo e o ponto adjacente.
Para g3 = y3 - y2x3 - x2 :
g3 = y3 - y212 - 7 = y3 - y25
Com os valores dados, e , então:
Para :
Com e , temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas nos pontos interiores, gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , usando a fórmula mais complexa fornecida. A fórmula geral para um ponto interior x0 = 3, x1 = 6, x2 = 7 é: