Sejam os conjuntos numéricos
é divisor de 36
e
. Determine:
.
Passo 1
Beleza, amigo! O enunciado diz que temos três conjuntos:
A = {1,2,3,4,5}
B = {n ∈ ℕ ; n é divisor de 36}
C = {x ∈ ℝ ; x² – 9 = 0}
A = {1,2,3,4,5}
B = {n ∈ ℕ ; n é divisor de 36}
C = {x ∈ ℝ ; x² – 9 = 0}
O que a gente precisa fazer é achar o produto cartesiano (A ∩ B) × C.
Conteúdo: teoria de divisores, resolução de equação quadrática e definição de produto cartesiano.
Conteúdo: teoria de divisores, resolução de equação quadrática e definição de produto cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir todos os divisores naturais de 36 para montar B.
Teoria rápida: “d diz divisor de 36” significa que 36 ÷ d dá resto zero.
36 ÷ 1 = 36 (resto 0)
36 ÷ 2 = 18 (resto 0)
36 ÷ 3 = 12 (resto 0)
36 ÷ 4 = 9 (resto 0)
36 ÷ 5 = 7,2 (não serve)
36 ÷ 6 = 6 (resto 0)
36 ÷ 9 = 4 (resto 0)
36 ÷ 12 = 3 (resto 0)
36 ÷ 18 = 2 (resto 0)
36 ÷ 36 =1 (resto 0)
Logo,
B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Teoria rápida: “d diz divisor de 36” significa que 36 ÷ d dá resto zero.
36 ÷ 1 = 36 (resto 0)
36 ÷ 2 = 18 (resto 0)
36 ÷ 3 = 12 (resto 0)
36 ÷ 4 = 9 (resto 0)
36 ÷ 5 = 7,2 (não serve)
36 ÷ 6 = 6 (resto 0)
36 ÷ 9 = 4 (resto 0)
36 ÷ 12 = 3 (resto 0)
36 ÷ 18 = 2 (resto 0)
36 ÷ 36 =1 (resto 0)
Logo,
B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Passo 3
Agora, para C, resolvemos a equação
x² – 9 = 0
É uma equação quadrática simples. A gente pode fatorar ou isolar:
x² = 9
x = ±√9
x = ±3
Então
C = {–3, 3}
x² – 9 = 0
É uma equação quadrática simples. A gente pode fatorar ou isolar:
x² = 9
x = ±√9
x = ±3
Então
C = {–3, 3}
Passo 4
Vamos achar A ∩ B, que é o conjunto dos elementos que aparecem nos dois:
A = {1,2,3,4,5}
B = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
Comparando, os comuns são 1, 2, 3 e 4.
Logo
A ∩ B = {1, 2, 3, 4}
A = {1,2,3,4,5}
B = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
Comparando, os comuns são 1, 2, 3 e 4.
Logo
A ∩ B = {1, 2, 3, 4}
Passo 5
Por fim, o produto cartesiano (A ∩ B) × C é o conjunto de todos os pares (a, c) com a ∈ {1,2,3,4} e c ∈ {–3,3}.
Definição:
(A ∩ B) × C = { (a, c) | a ∈ A ∩ B e c ∈ C }
Definição:
(A ∩ B) × C = { (a, c) | a ∈ A ∩ B e c ∈ C }
Listando todos:
(1, –3), (1, 3)
(2, –3), (2, 3)
(3, –3), (3, 3)
(4, –3), (4, 3)
(1, –3), (1, 3)
(2, –3), (2, 3)
(3, –3), (3, 3)
(4, –3), (4, 3)
Resposta
{(1,-3),,(1,3),,(2,-3),,(2,3),,(3,-3),,(3,3),,(4,-3),,(4,3)}