Sejam d, a, b \in \mathbb{Z}, onde d \neq 0.
Se d \mid a então d . r \mid a . r, para qualquer número inteiro e r \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para provar uma propriedade de divisibilidade em \mathbb{Z}: dados d,a\in\mathbb{Z} com d\neq0 e qualquer inteiro r\neq0, mostrar que
d\mid a\quad\Longrightarrow\quad d\,r\mid a\,r.
Para isso, vamos usar a definição de divisibilidade e as propriedades de fechamento da multiplicação em \mathbb{Z}.

Passo 2

Pela definição de divisibilidade, d\mid a significa que existe um inteiro k tal que
a = d\cdot k.

Passo 3

Multiplicamos a igualdade a = d\cdot k por r. Como r\in\mathbb{Z}, vale a propriedade de fechamento da multiplicação em \mathbb{Z}, logo
a\,r = (d\cdot k)\,r.

Passo 4

Pela associatividade da multiplicação, podemos reescrever
(d\cdot k)\,r = d\,(k\cdot r) = (d\cdot r)\,k.
Como k é inteiro, concluímos que a\,r = (d\,r)\,k, ou seja, existe um inteiro ( k) tal que a\,r = (d\,r)\cdot k. Isso mostra exatamente que d\,r\mid a\,r.

Resposta

Prova concluída: se d\mid a então d\,r\mid a\,r para todo r\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.

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