Sejam F1=1, F2=1 e Fn=Fn-1+Fn-2, n >= 3 ( Fn é chamado de n-ésimo número de Fibonacci). Mostrar que
F1+F3+F5+cdots+F2 n-1=F2 n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na sequência de Fibonacci definida por
F1 + F3 + F5 + cdots + F2n-1 ;=; F2n, , vale a igualdade
Conteúdo: sequência de Fibonacci e prova por indução.
O que precisamos:
  • Entender a definição de Fibonacci ( ).
  • Saber como funciona a prova por indução (passo base e passo indutivo).

Passo 2

Passo base ( LHS = F1 = 1, RHS = F2cdot1 = F2 = 1 ):
Como LHS = RHS, a propriedade vale para .

Passo 3

Passo indutivo:
Suponha que a igualdade seja verdadeira para F1 + F3 + cdots + F2k-1 = F2k , ou seja,
F1 + F3 + cdots + F2k-1 + F2(k+1)-1 ;=;F2k + F2k+1 (usando a hipótese de indução)
Agora queremos provar para F2k+2 = F2k+1 + F2k :
F2k + F2k+1 = F2k+2, óçã
Mas pela definição de Fibonacci,
Logo
que é exatamente o que queremos para .

Passo 4

Concluímos que, por indução, a soma de todos os termos de índices ímpares até é sempre .

Resposta

F1 + F3 + F5 + cdots + F2n-1 ;=; F2n

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