Sejam
e
(
é chamado de n-ésimo número de Fibonacci). Mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na sequência de Fibonacci definida por
, vale a igualdade
Conteúdo: sequência de Fibonacci e prova por indução.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Entender a definição de Fibonacci (
). - Saber como funciona a prova por indução (passo base e passo indutivo).
Passo 2
Passo base (
):
Como LHS = RHS, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo:
Suponha que a igualdade seja verdadeira para , ou seja,
Suponha que a igualdade seja verdadeira para
Agora queremos provar para
:
Mas pela definição de Fibonacci,
Logo
que é exatamente o que queremos para
.
Passo 4
Concluímos que, por indução, a soma de todos os termos de índices ímpares até
é sempre
.