Sejam F1=1, F2=1 e Fn=Fn-1+Fn-2, n >= 3 ( Fn é chamado de n-ésimo número de Fibonacci). Mostrar que
F2+F4+F6+cdots+F2 n=F2 n+1-1

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é provar que, para todo n>=1, vale
F2+F4+cdots+F2n=F2n+1-1,
A matéria é sobre sequência de Fibonacci e indução matemática. Vamos usar:
1) A definição F1=1,;F2=1,;Fn=Fn-1+Fn-2;
2) O princípio da indução (base e passo indutivo).

Passo 2

Base da indução ( n=1):
Lado esquerdo: só temos F2=1.
Lado direito: F2cdot1+1-1=F3-1. E F3=F2+F1=1+1=2, então F3-1=1.
Logo 1=1, a base funciona.

Passo 3

Hipótese de indução:
Suponha que, para algum n=k, já vale
F2+F4+cdots+F2k=F2k+1-1,

Passo 4

Passo indutivo (mostrar para n=k+1):
Quero ver que
F2+F4+cdots+F2k+F2(k+1);=;F2(k+1)+1-1,
Pelo que assumimos (hipótese), a parte até F2k é F2k+1-1. Então
underbraceF2+cdots+F2k=,F2k+1-1+F2k+2 =F2k+1-1+F2k+2
Mas pela definição de Fibonacci F2k+3=F2k+2+F2k+1.
Logo
F2k+1-1+F2k+2 =l(F2k+2+F2k+1r)-1 =F2k+3-1 =F2(k+1)+1-1,
que era o que queríamos. Assim, a fórmula vale para todo n.

Resposta

F2+F4+cdots+F2n=F2n+1-1!

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