Sejam os
nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função
da forma
, onde
:
0
1
1
2
2
5
|
|
|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
Passo 1
O enunciado dá três nós de interpolação (peguei-os da tabela) e pede uma função
construída a partir das funções
com
. Os dados são:
- Nós:
, , .
O que se pede explicitamente é determinar uma funçãoda forma combinando as bases que interpole esses três pontos (isto é, que satisfaça para ).
Passo 2
Vamos construir
como combinação linear das três bases indicadas:
onde
são constantes a determinar. Exigir que
interpole os pontos gera um sistema linear. Usando as condições nos três nós:
Para
:
Para
:
Para
:
Aqui uso a abreviação
(constante de Euler).
Passo 3
Isolar
pela primeira equação e substituir nas outras duas. Da primeira:
Substituindo em
e
obtemos (fatorando em torno de potências de
):
Defina, para simplificar, as quantidades
e os termos do lado direito
O sistema reduzido para
é
Passo 4
Resolver o sistema
por determinantes. O determinante principal é
Usando as factorização
,
,
,
, chega-se (após fatorar e cancelar fatores comuns) à forma simples
(Vale conferir passo a passo: ao expandir
e fatorar os fatores comuns
e
obtém-se a expressão acima.)
Passo 5
As fórmulas por Cramer dão, após manipulações algébricas para simplificar fatores comuns, as expressões fechadas para
e
em termos de potências de
:
Em seguida
obtém-se por
.
Essas expressões são exatas (em termos de
). Para uso prático (por exemplo, em prova ou para avaliar
) é comum calcular valores numéricos aproximados.
Passo 6
Calculemos aproximações numéricas usando
(mantendo precisão suficiente para verificar a interpolação):
Potências úteis:
Agora as constantes (aproximadas):
Finalmente
Verificação rápida (avaliação aproximada): com esses coeficientes
o que confirma que os coeficientes interpolam os pontos dados (diferenças numéricas residuais da ordem de
ou menores devido às aproximações intermediárias).]
Passo 7
Escrevendo a função interpoladora com os coeficientes aproximados encontrados, obtemos