Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função g(x) da forma e^{(k x)}, onde k=\{1,2,3\} :
x f(x)
0 1
1 2
2 5

Passo 1

O enunciado dá três nós de interpolação (peguei-os da tabela) e pede uma função g(x) construída a partir das funções e^{k x} com k\in\{1,2,3\}. Os dados são:
  • Nós: (x_0,f_0)=(0,1), (x_1,f_1)=(1,2), (x_2,f_2)=(2,5).
    O que se pede explicitamente é determinar uma função g(x) da forma combinando as bases e^{x},e^{2x},e^{3x} que interpole esses três pontos (isto é, que satisfaça g(x_i)=f_i para i=0,1,2).

Passo 2

Vamos construir g(x) como combinação linear das três bases indicadas:
g(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}+c_{3}e^{3x},
onde c_{1},c_{2},c_{3} são constantes a determinar. Exigir que g interpole os pontos gera um sistema linear. Usando as condições nos três nós:
Para x=0:
c_{1}+c_{2}+c_{3}=1.
Para x=1:
c_{1}e+c_{2}e^{2}+c_{3}e^{3}=2.
Para x=2:
c_{1}e^{2}+c_{2}e^{4}+c_{3}e^{6}=5.
Aqui uso a abreviação e:=\mathrm{e} (constante de Euler).

Passo 3

Isolar c_{1} pela primeira equação e substituir nas outras duas. Da primeira:
c_{1}=1-c_{2}-c_{3}.
Substituindo em x=1 e x=2 obtemos (fatorando em torno de potências de e):
c_{2}\bigl(e^{2}-e\bigr)+c_{3}\bigl(e^{3}-e\bigr)=2-e,
c_{2}\bigl(e^{4}-e^{2}\bigr)+c_{3}\bigl(e^{6}-e^{2}\bigr)=5-e^{2}.
Defina, para simplificar, as quantidades
a:=e^{2}-e,\quad b:=e^{3}-e,\quad c:=e^{4}-e^{2},\quad d:=e^{6}-e^{2},
e os termos do lado direito
r_{1}:=2-e,\quad r_{2}:=5-e^{2}.
O sistema reduzido para c_{2},c_{3} é
\begin{cases} a\,c_{2}+b\,c_{3}=r_{1},\\[4pt] c\,c_{2}+d\,c_{3}=r_{2}. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema 2\times2 por determinantes. O determinante principal é
D=ad-bc.
Usando as factorização a=e(e-1), b=e(e^{2}-1)=e(e-1)(e+1), c=e^{2}(e^{2}-1)=e^{2}(e-1)(e+1), d=e^{2}(e^{4}-1)=e^{2}(e-1)(e+1)(e^{2}+1), chega-se (após fatorar e cancelar fatores comuns) à forma simples
D=e^{4}(e-1)^{3}(e+1).
(Vale conferir passo a passo: ao expandir ad-bc e fatorar os fatores comuns (e-1) e (e+1) obtém-se a expressão acima.)

Passo 5

As fórmulas por Cramer dão, após manipulações algébricas para simplificar fatores comuns, as expressões fechadas para c_{2} e c_{3} em termos de potências de e:
c_{2}=\frac{-e^{5}+2e^{4}+2e^{2}-5e}{e^{4}(e-1)^{2}},
c_{3}=\frac{e^{5}-3e^{4}+7e^{2}-5e}{e^{4}(e-1)^{3}(e+1)}.
Em seguida c_{1} obtém-se por c_{1}=1-c_{2}-c_{3}.
Essas expressões são exatas (em termos de e). Para uso prático (por exemplo, em prova ou para avaliar g) é comum calcular valores numéricos aproximados.

Passo 6

Calculemos aproximações numéricas usando e\approx2{,}718281828 (mantendo precisão suficiente para verificar a interpolação):
Potências úteis:
\begin{aligned} e&\approx2{,}718281828,\\\ e^{2}&\approx7{,}389056099,\\\ e^{3}&\approx20{,}08553692,\\\ e^{4}&\approx54{,}59815003,\\\ e^{5}&\approx148{,}4131591,\\\ e^{6}&\approx403{,}4287935. \end{aligned}
Agora as constantes (aproximadas):
\begin{aligned} c_{2}&\approx\frac{-148{,}4131591+2\cdot54{,}59815003+2\cdot7{,}389056099-5\cdot2{,}718281828}{54{,}59815003\cdot(2{,}952492442)}\\[4pt] &\approx-0{,}235901\quad(\text{aprox. }-0{,}235901). \end{aligned}
\begin{aligned} c_{3}&\approx\frac{148{,}4131591-3\cdot54{,}59815003+7\cdot7{,}389056099-5\cdot2{,}718281828}{54{,}59815003\cdot5{,}073179292\cdot3{,}718281828}\\[4pt] &\approx0{,}022089\quad(\text{aprox. }0{,}022089). \end{aligned}
Finalmente
c_{1}=1-c_{2}-c_{3}\approx1+0{,}235901-0{,}022089\approx1{,}213812.
Verificação rápida (avaliação aproximada): com esses coeficientes
g(1)=c_{1}e+c_{2}e^{2}+c_{3}e^{3}\approx2{,}00,\qquad g(2)=c_{1}e^{2}+c_{2}e^{4}+c_{3}e^{6}\approx5{,}00,
o que confirma que os coeficientes interpolam os pontos dados (diferenças numéricas residuais da ordem de 10^{-3} ou menores devido às aproximações intermediárias).]

Passo 7

Escrevendo a função interpoladora com os coeficientes aproximados encontrados, obtemos
g(x)\approx1{,}213812\,e^{x}-0{,}235901\,e^{2x}+0{,}022089\,e^{3x}.

Resposta

g(x)=1{,}213812\,e^{x}-0{,}235901\,e^{2x}+0{,}022089\,e^{3x}

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