Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função
da forma
, onde
:
1
1
2
7
3
25
|
|
|
| 1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 25 |
Passo 1
O enunciado dá três pares de valor de uma função
:
Pede-se determinar uma função
da forma dos monômios
com
. Em linguagem prática, isto significa: encontrar um polinômio de grau no máximo 2
cujos valores em
sejam respectivamente
. As incógnitas são os coeficientes
.
Passo 2
Vamos montar as equações impondo que
Explicando: cada linha corresponde a
são distintos).]
Passo 3
Para resolver o sistema, usamos eliminação (subtrações de equações) para eliminar
e obter equações apenas em
e
. Subtraindo a primeira da segunda:
Chamemos essa equação de (A):
Passo 4
Subtraindo a segunda da terceira:
Chamemos essa equação de (B):
Passo 5
Agora subtraímos (A) de (B) para eliminar
:
Logo
Aqui fizemos operações básicas de soma e subtração de equações — técnica de eliminação que funciona bem à mão na prova.
Passo 6
Voltemos a (A) para achar
. Substituindo
em (A):
Passo 7
Agora usamos a primeira equação do sistema para obter
. Substituindo
e
em
:
Passo 8
Portanto o polinômio interpolador é
Para conferir rapidamente:
,
,
— bate com os três pontos, como esperado.