Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função \mathrm{g}(\mathrm{x}) da forma x^{k}, onde k=\{0,1,2\} :
x f(x)
1 1
2 7
3 25

Passo 1

O enunciado dá três pares de valor de uma função f:
(1,1),\quad (2,7),\quad (3,25).
Pede-se determinar uma função \mathrm{g}(x) da forma dos monômios x^{k} com k=\{0,1,2\}. Em linguagem prática, isto significa: encontrar um polinômio de grau no máximo 2
\mathrm{g}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}
cujos valores em x=1,2,3 sejam respectivamente 1,7,25. As incógnitas são os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2}.

Passo 2

Vamos montar as equações impondo que \mathrm{g}(x)\) coincida com \(f(x)\) nos três pontos dados. Substituindo cada ponto em \(\mathrm{g}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\) obtemos o sistema linear: \[\begin{cases} a_{0}+a_{1}+a_{2}=1,\\[6pt] a_{0}+2a_{1}+4a_{2}=7,\\[6pt] a_{0}+3a_{1}+9a_{2}=25. \end{cases}
Explicando: cada linha corresponde a \mathrm{g}(x_i)=f(x_i)\]. Esse sistema tem solução única porque são três equações lineares independentes (os \(x são distintos).]

Passo 3

Para resolver o sistema, usamos eliminação (subtrações de equações) para eliminar a_{0} e obter equações apenas em a_{1} e a_{2}. Subtraindo a primeira da segunda:
(a_{0}+2a_{1}+4a_{2})-(a_{0}+a_{1}+a_{2}) \Rightarrow a_{1}+3a_{2}=6.
Chamemos essa equação de (A):
\text{(A)}\quad a_{1}+3a_{2}=6.

Passo 4

Subtraindo a segunda da terceira:
(a_{0}+3a_{1}+9a_{2})-(a_{0}+2a_{1}+4a_{2}) \Rightarrow a_{1}+5a_{2}=18.
Chamemos essa equação de (B):
\text{(B)}\quad a_{1}+5a_{2}=18.

Passo 5

Agora subtraímos (A) de (B) para eliminar a_{1}:
(a_{1}+5a_{2})-(a_{1}+3a_{2}) \Rightarrow 2a_{2}=12.
Logo
a_{2}=6.
Aqui fizemos operações básicas de soma e subtração de equações — técnica de eliminação que funciona bem à mão na prova.

Passo 6

Voltemos a (A) para achar a_{1}. Substituindo a_{2}=6 em (A):
a_{1}+3\cdot 6 = 6 \quad\Rightarrow\quad a_{1}+18=6 \quad\Rightarrow\quad a_{1}=-12.

Passo 7

Agora usamos a primeira equação do sistema para obter a_{0}. Substituindo a_{1}=-12 e a_{2}=6 em a_{0}+a_{1}+a_{2}=1:
a_{0}+(-12)+6=1 \quad\Rightarrow\quad a_{0}-6=1 \quad\Rightarrow\quad a_{0}=7.

Passo 8

Portanto o polinômio interpolador é
\mathrm{g}(x)=7-12x+6x^{2}.
Para conferir rapidamente: \mathrm{g}(1)=7-12+6=1, \mathrm{g}(2)=7-24+24=7, \mathrm{g}(3)=7-36+54=25 — bate com os três pontos, como esperado.

Resposta

\mathrm{g}(x)=7-12x+6x^{2}

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