Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função de interpolação g(x)=\sum_{k=0}^{3} \alpha_{k} \cdot x^{k} :
x f(x)
-2 32
-1 10
1 -10
2 -8

Passo 1

O problema pede: determinar a função de interpolação \,g(x)=\sum_{k=0}^{3}\alpha_{k}x^{k}\, que passa pelos quatro nós dados. Os nós (peguei estes dados do enunciado) são:
  • (x,f(x))=(-2,\,32)
  • (x,f(x))=(-1,\,10)
  • (x,f(x))=(1,\,-10)
  • (x,f(x))=(2,\,-8)
Queremos encontrar os coeficientes \alpha_{0},\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} de modo que g(x) tome esses valores nesses quatro x.

Passo 2

Como g(x) é um polinômio de grau até 3, basta impor g(x_i)=f(x_i) para cada nó. Substituindo cada x na expressão g(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1}x+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}x^{3} obtemos um sistema linear de quatro equações nas quatro incógnitas \alpha_{0},\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}. Vou escrever cada equação explícita:

Passo 3

Para x=-2:
\alpha_{0}-2\alpha_{1}+4\alpha_{2}-8\alpha_{3}=32
Para x=-1:
\alpha_{0}-\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3}=10
Para x=1:
\alpha_{0}+\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=-10
Para x=2:
\alpha_{0}+2\alpha_{1}+4\alpha_{2}+8\alpha_{3}=-8
Essas quatro equações formam o sistema que vou resolver.

Passo 4

Uma estratégia prática é aproveitar simetrias entre as equações para eliminar incógnitas mais rápido. Note que as equações para x=\pm2 têm os mesmos coeficientes para \alpha_{0} e \alpha_{2}; ao subtrair uma da outra conseguimos eliminar \alpha_{0} e \alpha_{2} e obter uma relação só entre \alpha_{1} e \alpha_{3}. Faço isso primeiro.
Faço: (equação de x=2) menos (equação de x=-2):
(\alpha_{0}+2\alpha_{1}+4\alpha_{2}+8\alpha_{3})-(\alpha_{0}-2\alpha_{1}+4\alpha_{2}-8\alpha_{3})= -8-32.
O lado esquerdo simplifica para 4\alpha_{1}+16\alpha_{3}. O lado direito é -40. Portanto:
4\alpha_{1}+16\alpha_{3}=-40.
Dividindo por 4:
\alpha_{1}+4\alpha_{3}=-10. \tag{A}

Passo 5

Agora faço a mesma ideia com as equações para x=\pm1: subtrair a equação de x=-1 da de x=1 elimina \alpha_{0} e \alpha_{2}:
(\alpha_{0}+\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3})-(\alpha_{0}-\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3})=-10-10.
O lado esquerdo vira 2\alpha_{1}+2\alpha_{3}. O direito é -20. Dividindo por 2,
\alpha_{1}+\alpha_{3}=-10. \tag{B}

Passo 6

Agora temos duas equações lineares simples em \alpha_{1} e \alpha_{3}: (A) e (B).
Subtraindo (B) de (A) obtemos:
(\alpha_{1}+4\alpha_{3})-(\alpha_{1}+\alpha_{3})= -10 -(-10).
No lado esquerdo sobra 3\alpha_{3}; no direito sobra 0. Logo
3\alpha_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{3}=0.

Passo 7

Com \alpha_{3}=0, usamos (B) para achar \alpha_{1}:
\alpha_{1}+\alpha_{3}=-10 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{1}+0=-10 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{1}=-10.

Passo 8

Agora precisamos de \alpha_{0} e \alpha_{2}. Observando a equação para x=1:
\alpha_{0}+\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=-10.
Substituindo \alpha_{1}=-10 e \alpha_{3}=0 ficamos com
\alpha_{0}-10+\alpha_{2}=-10 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{0}+\alpha_{2}=0. \tag{C}

Passo 9

Use uma equação que contenha \alpha_{0} e \alpha_{2} de forma conveniente; por exemplo a equação para x=-2:
\alpha_{0}-2\alpha_{1}+4\alpha_{2}-8\alpha_{3}=32.
Substituindo \alpha_{1}=-10 e \alpha_{3}=0 dá:
\alpha_{0}-2(-10)+4\alpha_{2}=32 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{0}+20+4\alpha_{2}=32.
Isolando termos:
\alpha_{0}+4\alpha_{2}=12. \tag{D}
Agora resolvo o sistema formado por (C) e (D):
\begin{cases} \alpha_{0}+\alpha_{2}=0,\\[4pt] \alpha_{0}+4\alpha_{2}=12. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(\alpha_{0}+4\alpha_{2})-(\alpha_{0}+\alpha_{2})=12-0 \quad\Rightarrow\quad 3\alpha_{2}=12,
logo
\alpha_{2}=4.
E pela (C),
\alpha_{0}=-\alpha_{2}=-4.]

Passo 10

Resumo dos coeficientes encontrados:
\alpha_{0}=-4,\qquad \alpha_{1}=-10,\qquad \alpha_{2}=4,\qquad \alpha_{3}=0.
Portanto o polinômio de interpolação é um polinômio de grau 2 (coeficiente de x^{3} nulo):
g(x)=-4-10x+4x^{2}.

Passo 11

Verificação rápida (só para confirmar, mas na prova basta checar um ou dois pontos): para x=1,
g(1)=-4-10+4=-10,
para x=-2,
g(-2)=-4+20+16=32,
os valores coincidem com os dados originais, logo a interpolação está correta.

Resposta

\;g(x)=-4-10x+4x^{2}

Exercícios relacionados