Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função de interpolação g(x)=\sum_{k=0}^{3} \alpha_{k} \cdot x^{k} :
x
f(x)
-2
32
-1
10
1
-10
2
-8
Passo 1
O problema pede: determinar a função de interpolação \,g(x)=\sum_{k=0}^{3}\alpha_{k}x^{k}\, que passa pelos quatro nós dados. Os nós (peguei estes dados do enunciado) são:
(x,f(x))=(-2,\,32)
(x,f(x))=(-1,\,10)
(x,f(x))=(1,\,-10)
(x,f(x))=(2,\,-8)
Queremos encontrar os coeficientes \alpha_{0},\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} de modo que g(x) tome esses valores nesses quatro x.
Passo 2
Como g(x) é um polinômio de grau até 3, basta impor g(x_i)=f(x_i) para cada nó. Substituindo cada x na expressão g(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1}x+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}x^{3} obtemos um sistema linear de quatro equações nas quatro incógnitas \alpha_{0},\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}. Vou escrever cada equação explícita:
Passo 3
Para x=-2:
\alpha_{0}-2\alpha_{1}+4\alpha_{2}-8\alpha_{3}=32
Para x=-1:
\alpha_{0}-\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3}=10
Para x=1:
\alpha_{0}+\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=-10
Para x=2:
\alpha_{0}+2\alpha_{1}+4\alpha_{2}+8\alpha_{3}=-8
Essas quatro equações formam o sistema que vou resolver.
Passo 4
Uma estratégia prática é aproveitar simetrias entre as equações para eliminar incógnitas mais rápido. Note que as equações para x=\pm2 têm os mesmos coeficientes para \alpha_{0} e \alpha_{2}; ao subtrair uma da outra conseguimos eliminar \alpha_{0} e \alpha_{2} e obter uma relação só entre \alpha_{1} e \alpha_{3}. Faço isso primeiro.