Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função \mathrm{g}(\mathrm{x}) da forma \cos (k x), onde k=\{1,2,3\} :
x f(x)
0 1
\pi / 4 -\sqrt{2} / 2
\pi / 2 -2

Passo 1

O enunciado fornece três pares de pontos (nós de interpolação) e pede uma função g(x) "da forma \cos(kx), onde k=\{1,2,3\}". Os dados são:
  • x=0 com f(x)=1.
  • x=\pi/4 com f(x)=-\sqrt{2}/2.
  • x=\pi/2 com f(x)=-2.
O que se pede é determinar uma função g(x) que, usando os termos envolvendo \cos(kx) com k\in\{1,2,3\}, atenda aos três valores acima (isto é, interpole esses pontos).

Passo 2

Interpretação do pedido e escolha do método (explicação didática):
  • Quando o enunciado diz "da forma \cos(kx), k=\{1,2,3\}", a interpretação natural — e prática para interpolação com três pontos — é procurar uma combinação linear dos três modos \cos(x), \cos(2x) e \cos(3x). Ou seja, assumimos
g(x)=c_1\cos(x)+c_2\cos(2x)+c_3\cos(3x),
onde c_1,c_2,c_3 são constantes reais a determinar.
  • Justificativa simples: temos três incógnitas c_1,c_2,c_3 e três condições (os três pontos), então podemos montar um sistema linear 3\times3 e resolvê-lo. Isso é padrão em interpolação linear em bases dadas.

Passo 3

Formular as equações usando cada nó (aqui ensino como avaliar cossenos nos pontos):
  • Substituir x=0 em g(x). Lembrando que \cos(0)=1 e, portanto, \cos(2\cdot0)=1, \cos(3\cdot0)=1. Assim obtemos a equação
c_1 + c_2 + c_3 = 1.

Passo 4

Avaliar em x=\pi/4 (calcular os cossenos):
  • Valores conhecidos: \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos(2\cdot\pi/4)=\cos(\pi/2)=0, \cos(3\cdot\pi/4)=\cos(3\pi/4)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Substituindo em g(x) e igualando a f(\pi/4)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} obtemos
c_1\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + c_2\cdot 0 + c_3\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Podemos simplificar dividindo por \dfrac{\sqrt{2}}{2} (não é zero), resultando em
c_1 - c_3 = -1.

Passo 5

Avaliar em x=\pi/2:
  • Valores: \cos(\pi/2)=0, \cos(2\cdot\pi/2)=\cos(\pi)=-1, \cos(3\cdot\pi/2)=0.
  • Substituindo e igualando a f(\pi/2)=-2 temos
c_1\cdot 0 + c_2\cdot(-1) + c_3\cdot 0 = -2.
  • Logo
-c_2 = -2 \quad\Rightarrow\quad c_2 = 2.

Passo 6

Resolver o sistema para c_1\) e \(c_3\): - As duas equações restantes são \[\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = 1,\\[4pt] c_1 - c_3 = -1. \end{cases}
  • Substituir c_2=2\] na primeira equação: \[c_1 + 2 + c_3 = 1 \quad\Rightarrow\quad c_1 + c_3 = -1.\] - Agora temos o sistema simples \[\begin{cases} c_1 + c_3 = -1,\\[4pt] c_1 - c_3 = -1. \end{cases}\] - Somando as duas equações: \[2c_1 = -2 \quad\Rightarrow\quad c_1 = -1.\] - Substituindo em \(c_1 + c_3 = -1:
-1 + c_3 = -1 \quad\Rightarrow\quad c_3 = 0.]

Passo 7

Escrever a função encontrada e checar rapidamente (didática de verificação):
  • Os coeficientes são c_1=-1, c_2=2, c_3=0. Portanto
g(x) = -\cos(x) + 2\cos(2x).
  • Verificação breve nos pontos (mostrando que bate):
    • Em x=0: g(0) = -1 + 2\cdot1 = 1 — confere.
    • Em x=\pi/4: g(\pi/4) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\cdot 0 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} — confere.
    • Em x=\pi/2: g(\pi/2) = -0 + 2\cdot(-1) = -2 — confere.

Resposta

g(x) = -\cos(x) + 2\cos(2x)

Exercícios relacionados