Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função
da forma
, onde
:
0
1
-2
|
|
|
| 0 | 1 |
|
|
|
|
|
-2 |
Passo 1
O enunciado fornece três pares de pontos (nós de interpolação) e pede uma função
"da forma
, onde
". Os dados são:
-
com . -
com . -
com .
O que se pede é determinar uma função
que, usando os termos envolvendo
com
, atenda aos três valores acima (isto é, interpole esses pontos).
Passo 2
Interpretação do pedido e escolha do método (explicação didática):
- Quando o enunciado diz "da forma
, ", a interpretação natural — e prática para interpolação com três pontos — é procurar uma combinação linear dos três modos , e . Ou seja, assumimos
onde
são constantes reais a determinar.
- Justificativa simples: temos três incógnitas
e três condições (os três pontos), então podemos montar um sistema linear e resolvê-lo. Isso é padrão em interpolação linear em bases dadas.
Passo 3
Formular as equações usando cada nó (aqui ensino como avaliar cossenos nos pontos):
- Substituir
em . Lembrando que e, portanto, , . Assim obtemos a equação
Passo 4
Avaliar em
(calcular os cossenos):
- Valores conhecidos:
, , . - Substituindo em
e igualando a obtemos
- Podemos simplificar dividindo por
(não é zero), resultando em
Passo 5
Avaliar em
:
- Valores:
, , . - Substituindo e igualando a
temos
- Logo
Passo 6
Resolver o sistema para
- Substituir :
Passo 7
Escrever a função encontrada e checar rapidamente (didática de verificação):
- Os coeficientes são
, , . Portanto
- Verificação breve nos pontos (mostrando que bate):
- Em
: — confere. - Em
: — confere. - Em
: — confere.
- Em