Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função de interpolação g(x)=\sum_{k=0}^{3} \alpha_{k} \cdot x^{k} :
x f(x)
-1.5 78
-0.5 4
0.5 -6
1.5 48

Passo 1

O enunciado dá quatro nós de interpolação (peguei estes números da tabela) e pede uma função polinomial cúbica g(x)=\sum_{k=0}^{3}\alpha_{k}\,x^{k} que passe por esses pontos. Os dados são:
  • x=-1{,}5 com f(x)=78.
  • x=-0{,}5 com f(x)=4.
  • x=0{,}5 com f(x)=-6.
  • x=1{,}5 com f(x)=48.
A tarefa é determinar os coeficientes \alpha_{0},\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} de g(x).

Passo 2

Escrevemos a forma geral do polinômio e introduzimos incógnitas:
g(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1}x+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}x^{3}.
Explicação rápida (mini-aula): a interpolação polinomial consiste em escolher os coeficientes de modo que o polinômio assuma os valores dados nos nós. Com quatro pontos, um polinômio de grau \leq 3 tem exatamente quatro coeficientes desconhecidos, portanto podemos montar e resolver um sistema linear de quatro equações.

Passo 3

Substituímos cada nó em g(x) para obter as quatro equações. Primeiro calculo as potências necessárias (detalhando):
  • Para x=-1{,}5: x^{1}=-1{,}5, x^{2}=(-1{,}5)^{2}=2{,}25, x^{3}=(-1{,}5)^{3}=-3{,}375.
  • Para x=-0{,}5: x^{1}=-0{,}5, x^{2}=0{,}25, x^{3}=-0{,}125.
  • Para x=0{,}5: x^{1}=0{,}5, x^{2}=0{,}25, x^{3}=0{,}125.
  • Para x=1{,}5: x^{1}=1{,}5, x^{2}=2{,}25, x^{3}=3{,}375.
Agora as equações (cada uma corresponde a pegar o valor f(x) da tabela):
\begin{aligned} \text{(E1)}\quad &\alpha_{0}-1{,}5\alpha_{1}+2{,}25\alpha_{2}-3{,}375\alpha_{3}=78,\\[4pt] \text{(E2)}\quad &\alpha_{0}-0{,}5\alpha_{1}+0{,}25\alpha_{2}-0{,}125\alpha_{3}=4,\\[4pt] \text{(E3)}\quad &\alpha_{0}+0{,}5\alpha_{1}+0{,}25\alpha_{2}+0{,}125\alpha_{3}=-6,\\[4pt] \text{(E4)}\quad &\alpha_{0}+1{,}5\alpha_{1}+2{,}25\alpha_{2}+3{,}375\alpha_{3}=48. \end{aligned}
Comentário didático: esse é um sistema linear com matriz do tipo Vandermonde (colunas: 1,x,x^{2},x^{3}). Pode-se resolver por eliminação de Gauss, por inversion da matriz Vandermonde, ou por usar fórmulas de Lagrange. Aqui escolho eliminar sistematicamente por combinações lineares simples (operacionalmente econômico).]

Passo 4

Observação útil (dica matemática): os pontos vêm em pares simétricos x e -x ( \pm0{,}5 e \pm1{,}5). Quando subtraímos a equação correspondente a x=+a menos a de x=-a, os termos com potências pares ( x^{0},x^{2}) se cancelam porque são iguais, e permanecem os termos com potências ímpares ( x^{1},x^{3}). Isso reduz o sistema a equações envolvendo apenas \alpha_{1} e \alpha_{3}. Vamos aplicar isso:
Calculo \text{(E3)}-\text{(E2)}:
(\alpha_{0}-\alpha_{0})+(0{,}5-(-0{,}5))\alpha_{1}+(0{,}25-0{,}25)\alpha_{2}+(0{,}125-(-0{,}125))\alpha_{3}= -6-4.
Simplificando (detalhando aritmética):
1{,}0\alpha_{1}+0\alpha_{2}+0{,}25\alpha_{3}=-10,
ou seja
\text{(E5)}\quad \alpha_{1}+0{,}25\alpha_{3}=-10.
Calculo \text{(E4)}-\text{(E1)}:
(\alpha_{0}-\alpha_{0})+(1{,}5-(-1{,}5))\alpha_{1}+(2{,}25-2{,}25)\alpha_{2}+(3{,}375-(-3{,}375))\alpha_{3}=48-78.
Simplificando:
3{,}0\alpha_{1}+0\alpha_{2}+6{,}75\alpha_{3}=-30,
ou seja
\text{(E6)}\quad 3\alpha_{1}+6{,}75\alpha_{3}=-30.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema simples formado por (E5) e (E6). Primeiro, multiplicando (E5) por 3 para comparar com (E6):
3\alpha_{1}+0{,}75\alpha_{3}=-30.
Subtraindo essa equação da (E6):
(3\alpha_{1}-3\alpha_{1})+(6{,}75-0{,}75)\alpha_{3}=-30-(-30).
Isso dá
6{,}0\alpha_{3}=0.
Logo
\alpha_{3}=0.
Substituindo \alpha_{3}=0 em (E5):
\alpha_{1}+0{,}25\cdot 0=-10 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{1}=-10.
Comentário didático: obter \alpha_{3}=0 significa que, apesar de buscarmos um polinômio até o grau 3, o ajuste real é de grau menor (a componente cúbica não é necessária para passar pelos quatro pontos dados).

Passo 6

Agora encontramos \alpha_{0} e \alpha_{2}. Uso, por exemplo, (E3) que já tem números pequenos:
\alpha_{0}+0{,}5\alpha_{1}+0{,}25\alpha_{2}+0{,}125\alpha_{3}=-6.
Substituo \alpha_{1}=-10 e \alpha_{3}=0:
\alpha_{0}+0{,}5(-10)+0{,}25\alpha_{2}=-6.
Simplificando:
\alpha_{0}-5+0{,}25\alpha_{2}=-6 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{0}+0{,}25\alpha_{2}=-1.
Anoto esta relação como (E7):
\text{(E7)}\quad \alpha_{0}+0{,}25\alpha_{2}=-1.

Passo 7

Uso agora (E1) para ter outra equação que envolve \alpha_{0} e \alpha_{2}:
\alpha_{0}-1{,}5\alpha_{1}+2{,}25\alpha_{2}-3{,}375\alpha_{3}=78.
Substituindo \alpha_{1}=-10 e \alpha_{3}=0:
\alpha_{0}-1{,}5(-10)+2{,}25\alpha_{2}=78.
Simplificando:
\alpha_{0}+15+2{,}25\alpha_{2}=78 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{0}+2{,}25\alpha_{2}=63.
Anoto como (E8):
\text{(E8)}\quad \alpha_{0}+2{,}25\alpha_{2}=63.

Passo 8

Subtraio (E7) de (E8) para eliminar \alpha_{0}:
(\alpha_{0}-\alpha_{0})+(2{,}25-0{,}25)\alpha_{2}=63-(-1).
Isso é
2{,}0\alpha_{2}=64.
Portanto
\alpha_{2}=32.
Substituo \alpha_{2}=32 em (E7):
\alpha_{0}+0{,}25\cdot 32=-1 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{0}+8=-1.
Logo
\alpha_{0}=-9.

Passo 9

Resumo dos coeficientes encontrados (validando mentalmente): \alpha_{0}=-9, \alpha_{1}=-10, \alpha_{2}=32, \alpha_{3}=0. Posso (opcionalmente) checar rapidamente substituindo em outra equação, por exemplo em (E4):
-9+1{,}5(-10)+2{,}25(32)+3{,}375\cdot 0 = -9-15+72=48,
coincide com o valor da tabela, portanto está consistente.

Resposta

g(x)=-9-10x+32x^{2}

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