Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função de interpolação
:
-1.5
78
-0.5
4
0.5
-6
1.5
48
|
|
|
| -1.5 | 78 |
| -0.5 | 4 |
| 0.5 | -6 |
| 1.5 | 48 |
Passo 1
O enunciado dá quatro nós de interpolação (peguei estes números da tabela) e pede uma função polinomial cúbica
que passe por esses pontos. Os dados são:
-
com . -
com . -
com . -
com .
A tarefa é determinar os coeficientes
de
.
Passo 2
Escrevemos a forma geral do polinômio e introduzimos incógnitas:
Explicação rápida (mini-aula): a interpolação polinomial consiste em escolher os coeficientes de modo que o polinômio assuma os valores dados nos nós. Com quatro pontos, um polinômio de grau
tem exatamente quatro coeficientes desconhecidos, portanto podemos montar e resolver um sistema linear de quatro equações.
Passo 3
Substituímos cada nó em
para obter as quatro equações. Primeiro calculo as potências necessárias (detalhando):
- Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , .
Agora as equações (cada uma corresponde a pegar o valor
da tabela):
Comentário didático: esse é um sistema linear com matriz do tipo Vandermonde (colunas:
). Pode-se resolver por eliminação de Gauss, por inversion da matriz Vandermonde, ou por usar fórmulas de Lagrange. Aqui escolho eliminar sistematicamente por combinações lineares simples (operacionalmente econômico).]
Passo 4
Observação útil (dica matemática): os pontos vêm em pares simétricos
e
(
e
). Quando subtraímos a equação correspondente a
menos a de
, os termos com potências pares (
) se cancelam porque são iguais, e permanecem os termos com potências ímpares (
). Isso reduz o sistema a equações envolvendo apenas
e
. Vamos aplicar isso:
Calculo
:
Simplificando (detalhando aritmética):
ou seja
Calculo
:
Simplificando:
ou seja
Passo 5
Agora resolvemos o sistema simples formado por (E5) e (E6). Primeiro, multiplicando (E5) por
para comparar com (E6):
Subtraindo essa equação da (E6):
Isso dá
Logo
Substituindo
em (E5):
Comentário didático: obter
significa que, apesar de buscarmos um polinômio até o grau
, o ajuste real é de grau menor (a componente cúbica não é necessária para passar pelos quatro pontos dados).
Passo 6
Agora encontramos
e
. Uso, por exemplo, (E3) que já tem números pequenos:
Substituo
e
:
Simplificando:
Anoto esta relação como (E7):
Passo 7
Uso agora (E1) para ter outra equação que envolve
e
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Anoto como (E8):
Passo 8
Subtraio (E7) de (E8) para eliminar
:
Isso é
Portanto
Substituo
em (E7):
Logo
Passo 9
Resumo dos coeficientes encontrados (validando mentalmente):
,
,
,
. Posso (opcionalmente) checar rapidamente substituindo em outra equação, por exemplo em (E4):
coincide com o valor da tabela, portanto está consistente.