Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função \mathrm{g}(\mathrm{x}) da forma \operatorname{sen}(k x), onde k=\{1,2,3\} :
x f(x)
\pi / 6 \sqrt{3} / 3
\pi / 4 1
\pi / 3 \sqrt{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado dá três nós de interpolação (peguei estes valores da tabela do enunciado):
    • x_1=\pi/6 com f(x_1)=\sqrt{3}/3.
    • x_2=\pi/4 com f(x_2)=1.
    • x_3=\pi/3 com f(x_3)=\sqrt{3}.
  • Pede-se determinar uma função g(x) "da forma \operatorname{sen}(k x), onde k=\{1,2,3\}".
    Interpretação prática (a forma usual neste tipo de problema): procurar g(x) como combinação linear das três funções \sin x, \sin 2x e \sin 3x; isto é, g(x)=a\sin x + b\sin 2x + c\sin 3x,e determinar os coeficientes a,b,c de modo que g(x_i)=f(x_i) para os três nós dados.
  • Objetivo final: encontrar a, b e c que satisfazem as três condições de interpolação.

Passo 2

Escolher incógnitas e montar as equações de interpolação.
  • Defino as incógnitas a,b,c nos coeficientes da combinação linear: g(x)=a\sin x + b\sin 2x + c\sin 3x.
  • Para cada nó x_i imposto g(x_i)=f(x_i). Isso gera três equações lineares em a,b,c: \begin{cases} a\sin(\pi/6)+b\sin(\,2\cdot\pi/6\,)+c\sin(\,3\cdot\pi/6\,)=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\\[6pt] a\sin(\pi/4)+b\sin(\,2\cdot\pi/4\,)+c\sin(\,3\cdot\pi/4\,)=1,\\[6pt] a\sin(\pi/3)+b\sin(\,2\cdot\pi/3\,)+c\sin(\,3\cdot\pi/3\,)=\sqrt{3}. \end{cases}]

Passo 3

Calcular exatamente os senos nos nós (aqui uma breve “aula” de identidades trigonométricas usadas).
  • Valores trigonométricos básicos que vamos usar (todos exatos): \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Para as múltiplas de ângulo usamos fórmulas ou simetria no círculo trigonométrico: \sin\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
\sin\!\left(3\cdot\tfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,
\sin\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,
\sin\!\left(3\cdot\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},
\sin\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
\sin\!\left(3\cdot\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin(\pi)=0.
  • Observação útil: em x_3=\pi/3 a componente \sin(3x_3) vale 0, por isso a equação correspondente não envolve c — atenção a isso quando resolver o sistema.

Passo 4

Escrever o sistema linear explícito substituindo os senos calculados.
  • Substituindo, obtemos: \begin{cases} \tfrac{1}{2}a + \tfrac{\sqrt{3}}{2}b + 1\cdot c = \dfrac{\sqrt{3}}{3},\\[6pt] \tfrac{\sqrt{2}}{2}a + 1\cdot b + \tfrac{\sqrt{2}}{2}c = 1,\\[6pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2}a + \tfrac{\sqrt{3}}{2}b + 0\cdot c = \sqrt{3}. \end{cases}
  • É conveniente multiplicar linhas por constantes para limpar frações; por exemplo:
    multiplicando a primeira equação por 2, a segunda por 2 e mantendo a terceira: \begin{cases} a + \sqrt{3}\,b + 2c = \dfrac{2\sqrt{3}}{3},\\[6pt] \sqrt{2}\,a + 2b + \sqrt{2}\,c = 2,\\[6pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2}a + \tfrac{\sqrt{3}}{2}b = \sqrt{3}. \end{cases}]

Passo 5

Extrair equações mais simples e reduzir o sistema (substituição).
  • A terceira equação simplifica-se: dividir ambos os lados por \tfrac{\sqrt{3}}{2} a + b = 2.Esta é uma equação muito simples e útil: a=2-b.
  • Substituir a=2-b nas outras duas equações para obter um sistema de duas equações em b e c.

Passo 6

Substituição e obtenção do sistema em b e c.
  • Substituindo em a + \sqrt{3}b + 2c = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}: (2-b) + \sqrt{3}b + 2c = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.Agrupando termos: b(\sqrt{3}-1) + 2c = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} - 2.
  • Substituindo em \sqrt{2}a + 2b + \sqrt{2}c = 2: \sqrt{2}(2-b) + 2b + \sqrt{2}c = 2,que dá, após agrupar: b(2-\sqrt{2}) + \sqrt{2}\,c = 2 - 2\sqrt{2}.
Agora temos o sistema 2×2:
\begin{cases} (\sqrt{3}-1)\,b + 2c = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} - 2,\\[6pt] (2-\sqrt{2})\,b + \sqrt{2}\,c = 2 - 2\sqrt{2}. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema 2×2 (eliminação).
  • Faço eliminação para b. Multiplico a primeira equação por \sqrt{2} para igualar o coeficiente de c com a segunda (pois \sqrt{2}\cdot 2 = 2\sqrt{2}):
    \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\,b + 2\sqrt{2}\,c = \sqrt{2}\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3} - 2\right).
  • Multiplico a segunda equação por 2:
    2(2-\sqrt{2})\,b + 2\sqrt{2}\,c = 4 - 4\sqrt{2}.
  • Subtraindo a segunda (multiplicada) da primeira (multiplicada) para eliminar c:
    \bigl(\sqrt{2}(\sqrt{3}-1) - 2(2-\sqrt{2})\bigr)b = \sqrt{2}\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3} - 2\right) - (4 - 4\sqrt{2}).
  • Simplificando um pouco os coeficientes (definindo \sqrt{2}=s e \sqrt{3}=t para ajudar mentalmente) e reorganizando, uma forma conveniente para b é:
    b = \dfrac{2(6 - \sqrt{6} - 3\sqrt{2})}{3(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})}.
    (obtido ao manipular numerador e denominador da expressão acima; é a mesma expressão que surge ao fazer as operações de eliminação/adição).
  • Esta é uma expressão exata em radicais. Se preferirmos um número para usar rapidamente na prova, a aproximação é
    b \approx -3{,}3860.

Passo 8

Determinar a a partir de a=2-b e calcular c.
  • Como a=2-b, com a expressão exata para b obtemos a = 2 - b = \dfrac{4(3 - \sqrt{6})}{3(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})},e numericamente a \approx 5{,}3860.
  • Para c usamos a forma obtida antes: c = \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \tfrac{1}{2}a - \tfrac{\sqrt{3}}{2}b.Substituindo a expressão de b (ou usando o valor numérico), obtemos a forma exata em termos de b: c = \dfrac{\sqrt{3}-3}{3} + \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\,b,e numericamente c \approx 0{,}8169.

Passo 9

Verificação rápida (importante para a prova): avalio g(x_i) com os coeficientes encontrados.
  • Substituindo numericamente nota-se que: g\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)\approx 0{,}57735=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\qquad g\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\approx 1,\qquad g\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3},dentro de pequena diferença numérica de arredondamento. Logo os coeficientes estão corretos.

Resposta

g(x)=\dfrac{4(3-\sqrt{6})}{3(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})}\,\sin x \;+\; \dfrac{2(6-\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{3(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})}\,\sin 2x \;+\; \Bigl(\dfrac{\sqrt{3}-3}{3}+\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{2(6-\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{3(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})}\Bigr)\,\sin 3x
ou, aproximadamente,
g(x)\approx 5{,}3860\sin x -3{,}3860\sin 2x +0{,}8169\sin 3x.

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