Sejam os n nós de interpolação apresentados na tabela abaixo, determine a função \mathrm{g}(\mathrm{x}) da forma \operatorname{sen}(k x), onde k=\{1,2,3\} :
x
f(x)
\pi / 6
\sqrt{3} / 3
\pi / 4
1
\pi / 3
\sqrt{3}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
O enunciado dá três nós de interpolação (peguei estes valores da tabela do enunciado):
x_1=\pi/6 com f(x_1)=\sqrt{3}/3.
x_2=\pi/4 com f(x_2)=1.
x_3=\pi/3 com f(x_3)=\sqrt{3}.
Pede-se determinar uma função g(x) "da forma \operatorname{sen}(k x), onde k=\{1,2,3\}".
Interpretação prática (a forma usual neste tipo de problema): procurar g(x) como combinação linear das três funções \sin x, \sin 2x e \sin 3x; isto é,g(x)=a\sin x + b\sin 2x + c\sin 3x,e determinar os coeficientes a,b,c de modo que g(x_i)=f(x_i) para os três nós dados.
Objetivo final: encontrar a, b e c que satisfazem as três condições de interpolação.
Passo 2
Escolher incógnitas e montar as equações de interpolação.
Defino as incógnitas a,b,c nos coeficientes da combinação linear:g(x)=a\sin x + b\sin 2x + c\sin 3x.
Para cada nó x_i imposto g(x_i)=f(x_i). Isso gera três equações lineares em a,b,c:\begin{cases} a\sin(\pi/6)+b\sin(\,2\cdot\pi/6\,)+c\sin(\,3\cdot\pi/6\,)=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\\[6pt] a\sin(\pi/4)+b\sin(\,2\cdot\pi/4\,)+c\sin(\,3\cdot\pi/4\,)=1,\\[6pt] a\sin(\pi/3)+b\sin(\,2\cdot\pi/3\,)+c\sin(\,3\cdot\pi/3\,)=\sqrt{3}. \end{cases}]
Passo 3
Calcular exatamente os senos nos nós (aqui uma breve “aula” de identidades trigonométricas usadas).
Valores trigonométricos básicos que vamos usar (todos exatos):\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Para as múltiplas de ângulo usamos fórmulas ou simetria no círculo trigonométrico:\sin\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
Observação útil: em x_3=\pi/3 a componente \sin(3x_3) vale 0, por isso a equação correspondente não envolve c — atenção a isso quando resolver o sistema.
Passo 4
Escrever o sistema linear explícito substituindo os senos calculados.
Substituindo, obtemos:\begin{cases} \tfrac{1}{2}a + \tfrac{\sqrt{3}}{2}b + 1\cdot c = \dfrac{\sqrt{3}}{3},\\[6pt] \tfrac{\sqrt{2}}{2}a + 1\cdot b + \tfrac{\sqrt{2}}{2}c = 1,\\[6pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2}a + \tfrac{\sqrt{3}}{2}b + 0\cdot c = \sqrt{3}. \end{cases}
É conveniente multiplicar linhas por constantes para limpar frações; por exemplo:
multiplicando a primeira equação por 2, a segunda por 2 e mantendo a terceira:\begin{cases} a + \sqrt{3}\,b + 2c = \dfrac{2\sqrt{3}}{3},\\[6pt] \sqrt{2}\,a + 2b + \sqrt{2}\,c = 2,\\[6pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2}a + \tfrac{\sqrt{3}}{2}b = \sqrt{3}. \end{cases}]
Passo 5
Extrair equações mais simples e reduzir o sistema (substituição).
A terceira equação simplifica-se: dividir ambos os lados por \tfrac{\sqrt{3}}{2} dáa + b = 2.Esta é uma equação muito simples e útil: a=2-b.
Substituir a=2-b nas outras duas equações para obter um sistema de duas equações em b e c.
(obtido ao manipular numerador e denominador da expressão acima; é a mesma expressão que surge ao fazer as operações de eliminação/adição).
Esta é uma expressão exata em radicais. Se preferirmos um número para usar rapidamente na prova, a aproximação é
b \approx -3{,}3860.
Passo 8
Determinar a a partir de a=2-b e calcular c.
Como a=2-b, com a expressão exata para b obtemosa = 2 - b = \dfrac{4(3 - \sqrt{6})}{3(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})},e numericamentea \approx 5{,}3860.
Para c usamos a forma obtida antes:c = \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \tfrac{1}{2}a - \tfrac{\sqrt{3}}{2}b.Substituindo a expressão de b (ou usando o valor numérico), obtemos a forma exata em termos de b:c = \dfrac{\sqrt{3}-3}{3} + \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\,b,e numericamentec \approx 0{,}8169.
Passo 9
Verificação rápida (importante para a prova): avalio g(x_i) com os coeficientes encontrados.
Substituindo numericamente nota-se que:g\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)\approx 0{,}57735=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\qquad g\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\approx 1,\qquad g\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3},dentro de pequena diferença numérica de arredondamento. Logo os coeficientes estão corretos.
Resposta
g(x)=\dfrac{4(3-\sqrt{6})}{3(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})}\,\sin x \;+\; \dfrac{2(6-\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{3(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})}\,\sin 2x \;+\; \Bigl(\dfrac{\sqrt{3}-3}{3}+\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{2(6-\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{3(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})}\Bigr)\,\sin 3x
ou, aproximadamente,
g(x)\approx 5{,}3860\sin x -3{,}3860\sin 2x +0{,}8169\sin 3x.