Um sistema de aquecimento é (em minutos), é modelada por
Aplique o método de Bisseção para determinar em quanto tempo a temperatura da água atinge 40 graus Celsius.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em função do tempo (em minutos)
e pede: determinar em quanto tempo a água atinge
C, isto é, encontrar
tal que
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está definida em . - A pergunta concreta: achar
tal que .
Passo 2
Transformar o problema em achar raiz de uma função (isso é padrão para aplicar o método da Bisseção). Defino
Simplificando,
Explicação curta do que significa: queremos
tal que
. O método da Bisseção precisa que
seja contínua no intervalo e que haja troca de sinal em
(ou seja
), então primeiro verifico os sinais nas extremidades do intervalo dado
.
Calculo
nas extremidades:
Aqui usei
.
Como
e
, há troca de sinal em
. Pela continuidade de
(produto e soma de funções contínuas), existe pelo menos uma raiz no intervalo. O método da Bisseção vai localizar essa raiz por subdivisões sucessivas do intervalo.
Passo 3
Explicação didática do método da Bisseção (passo-a-passo, o “porquê”):
- Seja um intervalo inicial
com . A cada iteração calcula-se o ponto médio
- Avalia-se
. Se encontrou-se a raiz exata. Se tem o mesmo sinal de , então a raiz está em ; caso contrário está em . - A cada iteração o comprimento do intervalo é reduzido à metade, garantindo convergência linear e um limite superior para o erro.
- Fórmula prática para número de iterações necessárias para garantir uma tolerância
no comprimento do intervalo:
Passo 4
Escolha de tolerância e cálculo do número de iterações:
- Vou usar tolerância em tamanho do intervalo
minutos (ou seja, quero que o intervalo final tenha comprimento ). Essa escolha dá uma precisão boa para o tempo em minutos sem exagerar nas iterações. - Intervalo inicial:
, , então . - Número mínimo de iterações:
Portanto faremos
iterações da Bisseção para garantir
.
Passo 5
Iteração 1:
Avalio o sinal:
e
(negativo). Como
tem o mesmo sinal que
(ambos negativos), a raiz está em
. Atualizo:
Passo 6
Iteração 2:
Avalio:
(negativo). Então a raiz está em
.
Passo 7
Iteração 3:
Avalio:
(positivo). Agora
tem sinal oposto ao de
, então a raiz está em
.
Passo 8
Iteração 4:
Comparando com a raiz real (explicação: a raiz exata satisfaz
, ou seja
), vemos
, portanto
. Conclusão: raiz em
.
Passo 9
Iteração 5:
Aqui
, logo
. Assim intervalo novo:
Passo 10
Iteração 6:
Como
(pois
),
. Intervalo novo:
Passo 11
Iteração 7:
Aqui
(por pouco), então
. Intervalo novo:
Passo 12
Iteração 8:
Como
, temos
. Intervalo novo:
Passo 13
Iteração 9:
Aqui
, logo
. Intervalo novo:
Passo 14
Iteração 10:
Temos
, então
. Intervalo novo:
Passo 15
Iteração 11:
Aqui
, logo
. Intervalo novo:
Passo 16
Iteração 12:
Temos
, então
. Intervalo novo:
Passo 17
Iteração 13:
Aqui
, logo
. Intervalo novo:
Passo 18
Iteração 14:
Temos
, então
. Intervalo novo:
Passo 19
Iteração 15:
Agora
(pois
), então
. Atualizo intervalo final:
O comprimento do intervalo final é
então a condição de parada foi satisfeita após
iterações.
Passo 20
Escolha da aproximação final e estimativa de erro:
- Uma aproximação conveniente é o ponto médio do intervalo final:
- Estimativa do erro máximo: o erro absoluto está limitado por metade do comprimento do intervalo final,
- Verificação rápida: usando
obtém-se
ou seja muito próximo de
C (diferença da ordem de
grau), consistente com o erro acima.
Força aí — concluímos com sucesso pelo método da Bisseção e garantimos a precisão pedida.