Um sistema de aquecimento é (em minutos), é modelada por
T(t)=50\left(1-e^{-t}\right), \quad t \in[0,2]
Aplique o método de Bisseção para determinar em quanto tempo a temperatura da água atinge 40 graus Celsius.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em função do tempo (em minutos)
T(t)=50\left(1-e^{-t}\right),\quad t\in[0,2],
e pede: determinar em quanto tempo a água atinge 40^\circC, isto é, encontrar t\in[0,2] tal que T(t)=40.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função T(t) está definida em [0,2].
  • A pergunta concreta: achar t tal que T(t)=40.

Passo 2

Transformar o problema em achar raiz de uma função (isso é padrão para aplicar o método da Bisseção). Defino
f(t)=T(t)-40=50\left(1-e^{-t}\right)-40.
Simplificando,
f(t)=10-50e^{-t}.
Explicação curta do que significa: queremos t tal que f(t)=0. O método da Bisseção precisa que f seja contínua no intervalo e que haja troca de sinal em [a,b] (ou seja f(a)\cdot f(b)<0), então primeiro verifico os sinais nas extremidades do intervalo dado [0,2].
Calculo f nas extremidades:
f(0)=10-50e^{0}=10-50\cdot 1=-40,
f(2)=10-50e^{-2}\approx 10-50\cdot 0,135335\approx 3,233235838.
Aqui usei e^{-2}\approx 0,135335.
Como f(0)=-40<0 e f(2)\approx 3,233>0, há troca de sinal em [0,2]. Pela continuidade de f (produto e soma de funções contínuas), existe pelo menos uma raiz no intervalo. O método da Bisseção vai localizar essa raiz por subdivisões sucessivas do intervalo.

Passo 3

Explicação didática do método da Bisseção (passo-a-passo, o “porquê”):
  • Seja um intervalo inicial [a_0,b_0] com f(a_0)\cdot f(b_0)<0. A cada iteração calcula-se o ponto médio
c_k=\frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}.
  • Avalia-se f(c_k). Se f(c_k)=0 encontrou-se a raiz exata. Se f(c_k) tem o mesmo sinal de f(a_{k-1}), então a raiz está em [c_k,b_{k-1}]; caso contrário está em [a_{k-1},c_k].
  • A cada iteração o comprimento do intervalo é reduzido à metade, garantindo convergência linear e um limite superior para o erro.
  • Fórmula prática para número de iterações necessárias para garantir uma tolerância \varepsilon no comprimento do intervalo:
\frac{b_0-a_0}{2^N}\le \varepsilon \quad\Rightarrow\quad N\ge \left\lceil\log_2\!\left(\frac{b_0-a_0}{\varepsilon}\right)\right\rceil.

Passo 4

Escolha de tolerância e cálculo do número de iterações:
  • Vou usar tolerância em tamanho do intervalo \varepsilon=10^{-4} minutos (ou seja, quero que o intervalo final tenha comprimento \le 10^{-4}). Essa escolha dá uma precisão boa para o tempo em minutos sem exagerar nas iterações.
  • Intervalo inicial: a_0=0, b_0=2, então b_0-a_0=2.
  • Número mínimo de iterações:
N\ge \left\lceil\log_2\!\left(\frac{2}{10^{-4}}\right)\right\rceil =\left\lceil\log_2(20000)\right\rceil=\left\lceil 14{,}2877\ldots\right\rceil=15.
Portanto faremos 15 iterações da Bisseção para garantir b_{15}-a_{15}\le 10^{-4}.

Passo 5

Iteração 1:
a_0=0,\quad b_0=2,\quad c_1=\frac{0+2}{2}=1.
Avalio o sinal: c_1=1 e f(1)=10-50e^{-1}\approx 10-50\cdot 0,367879\approx -8{,}393972 (negativo). Como f(c_1) tem o mesmo sinal que f(a_0) (ambos negativos), a raiz está em [c_1,b_0]=[1,2]. Atualizo:
a_1=1,\quad b_1=2.

Passo 6

Iteração 2:
c_2=\frac{1+2}{2}=1{,}5.
Avalio: f(1{,}5)=10-50e^{-1{,}5}\approx 10-50\cdot 0,223130\approx -1{,}156508 (negativo). Então a raiz está em [1{,}5,2].
a_2=1{,}5,\quad b_2=2.

Passo 7

Iteração 3:
c_3=\frac{1{,}5+2}{2}=1{,}75.
Avalio: f(1{,}75)=10-50e^{-1{,}75}\approx 10-50\cdot 0,173774\approx 1{,}311303 (positivo). Agora f(c_3) tem sinal oposto ao de f(a_2), então a raiz está em [1{,}5,1{,}75].
a_3=1{,}5,\quad b_3=1{,}75.

Passo 8

Iteração 4:
c_4=\frac{1{,}5+1{,}75}{2}=1{,}625.
Comparando com a raiz real (explicação: a raiz exata satisfaz e^{-t}=0{,}2, ou seja t=-\ln(0{,}2)=\ln 5\approx 1{,}6094379), vemos c_4=1{,}625>\ln 5, portanto f(c_4)>0. Conclusão: raiz em [1{,}5,1{,}625].
a_4=1{,}5,\quad b_4=1{,}625.

Passo 9

Iteração 5:
c_5=\frac{1{,}5+1{,}625}{2}=1{,}5625.
Aqui c_5<\ln5, logo f(c_5)<0. Assim intervalo novo:
a_5=1{,}5625,\quad b_5=1{,}625.

Passo 10

Iteração 6:
c_6=\frac{1{,}5625+1{,}625}{2}=1{,}59375.
Como c_6<\ln5 (pois 1{,}59375<1{,}6094379), f(c_6)<0. Intervalo novo:
a_6=1{,}59375,\quad b_6=1{,}625.

Passo 11

Iteração 7:
c_7=\frac{1{,}59375+1{,}625}{2}=1{,}609375.
Aqui c_7=1{,}609375<\ln5 (por pouco), então f(c_7)<0. Intervalo novo:
a_7=1{,}609375,\quad b_7=1{,}625.

Passo 12

Iteração 8:
c_8=\frac{1{,}609375+1{,}625}{2}=1{,}6171875.
Como c_8>\ln5, temos f(c_8)>0. Intervalo novo:
a_8=1{,}609375,\quad b_8=1{,}6171875.

Passo 13

Iteração 9:
c_9=\frac{1{,}609375+1{,}6171875}{2}=1{,}61328125.
Aqui c_9>\ln5, logo f(c_9)>0. Intervalo novo:
a_9=1{,}609375,\quad b_9=1{,}61328125.

Passo 14

Iteração 10:
c_{10}=\frac{1{,}609375+1{,}61328125}{2}=1{,}611328125.
Temos c_{10}>\ln5, então f(c_{10})>0. Intervalo novo:
a_{10}=1{,}609375,\quad b_{10}=1{,}611328125.

Passo 15

Iteração 11:
c_{11}=\frac{1{,}609375+1{,}611328125}{2}=1{,}6103515625.
Aqui c_{11}>\ln5, logo f(c_{11})>0. Intervalo novo:
a_{11}=1{,}609375,\quad b_{11}=1{,}6103515625.

Passo 16

Iteração 12:
c_{12}=\frac{1{,}609375+1{,}6103515625}{2}=1{,}60986328125.
Temos c_{12}>\ln5, então f(c_{12})>0. Intervalo novo:
a_{12}=1{,}609375,\quad b_{12}=1{,}60986328125.

Passo 17

Iteração 13:
c_{13}=\frac{1{,}609375+1{,}60986328125}{2}=1{,}609619140625.
Aqui c_{13}>\ln5, logo f(c_{13})>0. Intervalo novo:
a_{13}=1{,}609375,\quad b_{13}=1{,}609619140625.

Passo 18

Iteração 14:
c_{14}=\frac{1{,}609375+1{,}609619140625}{2}=1{,}6094970703125.
Temos c_{14}>\ln5, então f(c_{14})>0. Intervalo novo:
a_{14}=1{,}609375,\quad b_{14}=1{,}6094970703125.

Passo 19

Iteração 15:
c_{15}=\frac{1{,}609375+1{,}6094970703125}{2}=1{,}60943603515625.
Agora c_{15}<\ln5 (pois 1{,}60943603515625<1{,}6094379124341), então f(c_{15})<0. Atualizo intervalo final:
a_{15}=1{,}60943603515625,\quad b_{15}=1{,}6094970703125.
O comprimento do intervalo final é
b_{15}-a_{15}=0{,}00006103515625\le 10^{-4},
então a condição de parada foi satisfeita após 15 iterações.

Passo 20

Escolha da aproximação final e estimativa de erro:
  • Uma aproximação conveniente é o ponto médio do intervalo final:
\tilde t=\frac{a_{15}+b_{15}}{2}=1{,}609466552734375\\ \text{minutos}.
  • Estimativa do erro máximo: o erro absoluto está limitado por metade do comprimento do intervalo final,
|t^\ast-\tilde t|\le \frac{b_{15}-a_{15}}{2}=0{,}000030517578125\\ \text{minutos}\approx 3{,}05\cdot 10^{-5}\\ \text{minutos}.
  • Verificação rápida: usando \tilde t obtém-se
T(\tilde t)=50\bigl(1-e^{-\tilde t}\bigr)\approx 40{,}0002866^\circ\text{C},
ou seja muito próximo de 40^\circC (diferença da ordem de 3\cdot 10^{-4} grau), consistente com o erro acima.
Força aí — concluímos com sucesso pelo método da Bisseção e garantimos a precisão pedida.

Resposta

\tilde t=1{,}609466552734375\\ \text{minutos}

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