Sejam a matriz A e o vetor b dados por:
A=[rrr 0 & 1 & 1 1 & 1 & 4 -4 & -1 & 2 ] b=[r -1 2 -2 ]
Resolva o sistema linear A x=b usando a fatoração L U encontrada no item (b).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra resolver o sistema
A,x = b
onde
A = 0 & 1 & 1 1 & 1 & 4 -4 & -1 & 2 , b = -12-2,
usando a fatoração LU (com permutação de linhas) que você já encontrou lá no item (b).
Conteúdo: decomposição PLU, substituição progressiva (forward) e regressiva (backward). Vamos precisar da matriz de permutação P, da lower L e da upper U, depois resolver L,y = P,b e U,x = y.

Passo 2

A fatoração PLU que rolou no item (b) foi:
P = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -4 & 3 & 1 , U = 1 & 1 & 4 0 & 1 & 1 0 & 0 & 15 ,
de forma que P,A = L,U.
Primeiro a gente computa P,b:
[
P,\mathbf{b}
= P,b = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 -12-2 = 2-1-2

.
]

Passo 3

Agora faz a substituição progressiva L,y = P,b.
Escrevendo componente a componente:
  1. y1 = 2 (da primeira linha: 1cdot y1=2).
  2. y2 = -1 (da segunda linha: 1cdot y2=-1).
  3. Da terceira linha: -4,y1 + 3,y2 + 1,y3 = -2.
    Substituindo y1=2 e y2=-1: -4cdot2 + 3cdot(-1) + y3 = -2 ;Longrightarrow; -8 -3 + y3 = -2 ;Longrightarrow; y3 = 9
Logo
y = 2-19

Passo 4

Agora a substituição regressiva U,x = y.
  1. Terceira linha: 15,x3 = 9 ;Longrightarrow; x3 = tfrac915 = tfrac35
  2. Segunda linha: 1cdot x2 + 1cdot x3 = -1 ;Longrightarrow; x2 = -1 - x3 = -1 - tfrac35 = -tfrac85
  3. Primeira linha: 1cdot x1 + 1cdot x2 + 4cdot x3 = 2 ;Longrightarrow; x1 = 2 - x2 -4,x3 = 2 -l(-tfrac85r) - 4cdottfrac35 = tfrac65

Resposta

boxedx = 6/5[4pt]-8/5[4pt]3/5

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