Sejam x, y in R+ e z=x+y i um número complexo.
Se a soma de z com o seu conjugado é igual a 6 vezes a parte imaginária de z, e o produto de z pelo seu conjugado é igual a 90 , então a soma x+y é igual a
a) 15
b) 12
c) 10
d) 6

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão nos dá e pede:
• Temos e o número complexo .
• Dois fatos:
  1. A soma de com o seu conjugado vale 6 vezes a parte imaginária de .
  2. O produto vale 90.
    • Queremos achar .
    Conteúdo envolvido: números complexos (conjugado, soma, produto e módulo).

Passo 2

Vamos traduzir o primeiro fato em fórmula.
O conjugado de z + bar z = (x+yi) + (x-yi) = 2x é z + bar z = 6,Im(z) Longrightarrow 2x = 6y . Então
E a parte imaginária de é . A condição diz

Passo 3

Da equação x = 6y2 = 3y podemos isolar :

Passo 4

Agora o segundo fato: zcdotbar z = |z|^2 = x^2 + y^2 . Mas a gente sabe que
x^2 + y^2 = 90
Logo temos

Passo 5

Substituindo (3y)^2 + y^2 = 90 Longrightarrow 9y^2 + y^2 = 90 Longrightarrow 10y^2 = 90 Longrightarrow y^2 = 9 Longrightarrow y = 3(positiva) em :
Então . Aí é só somar: .

Resposta

12

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