Sejam a matriz A e o vetor b dados por:
A=[rrr 2 & -2 & 3 4 & 2 & 1 -6 & -2 & 2 ] b=[l 3 1 2 ]
Resolva o sistema linear A x=b usando a fatoração L U encontrada no item (a).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver o sistema
A x = b
onde
A = 2 & -2 & 3 4 & 2 & 1 -6 & -2 & 2 , b = 312,
usando a fatoração LU (ou seja, escrevendo e depois fazendo duas substituições).
Conteúdo: sistemas lineares, fatoração LU, substituição direta e regressiva.
O que precisamos:
  • A fatoração .
  • Resolver (substituição direta).
  • Resolver (substituição regressiva).

Passo 2

Vamos decompor (4,2,1) - 2,(2,-2,3) = (0,6,-5) em (-6,-2,2) - (-3),(2,-2,3) = (0,-8,11) e (0,-8,11) - l(-tfrac43r),(0,6,-5) = (0,0,;11 - tfrac203) = l(0,0,tfrac133r) pelo método de eliminação de Gauss sem pivoteamento:
  1. Pivot em L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -3 & -tfrac43 & 1 , U = 2 & -2 & 3 0 & 6 & -5 0 & 0 & tfrac133 .
    • , .
    • Atualiza linha 2:
    • Atualiza linha 3:
  2. Pivot em .
    • .
    • Atualiza linha 3:
Fim da eliminação.
Então

Passo 3

Agora resolvemos 2,y1 + 1,y2 = b2 ;Longrightarrow; 2cdot 3 + y2 = 1 ;Longrightarrow; y2 = 1 - 6 = -5 por substituição direta (de cima pra baixo):
  1. -3,y1 ;+; l(-tfrac43r),y2 ;+; 1cdot y3 = b3
  2. -3cdot3 + l(-tfrac43r),(-5) + y3 = 2 ;Longrightarrow; -9 + tfrac203 + y3 = 2 ;Longrightarrow; y3 = 2 + 9 - tfrac203 = 11 - tfrac203 = tfrac33 - 203 = tfrac133 vem de
y = 3-5tfrac133
  1. vem de
Substituindo , :
Então

Passo 4

Agora resolvemos tfrac133,x3 = tfrac133 ;Longrightarrow; x3 = 1 por substituição regressiva (de baixo pra cima):
3ª equação:
6,x2 + (-5),x3 = y2 = -5 ;Longrightarrow; 6,x2 - 5cdot1 = -5 ;Longrightarrow; 6,x2 = 0 ;Longrightarrow; x2 = 0
2ª equação:
2,x1 -2,x2 +3,x3 = y1 = 3 ;Longrightarrow; 2,x1 -2cdot0 +3cdot1 = 3 ;Longrightarrow; 2,x1 +3 = 3 ;Longrightarrow; 2,x1 = 0 ;Longrightarrow; x1 = 0
1ª equação:

Resposta

boxedx = 001

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