Sejam os pontos da tabela:
x f(x)
0 0,000
\pi / 6 0,328
\pi / 4 0,560
Determine o valor aproximado de f(0,628) usando para os pontos dados o polinômio interpolador quadrático (caso particular da Forma de Lagrange).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor aproximado de f(0,628) usando o polinômio interpolador quadrático (forma de Lagrange) construído a partir dos três pontos da tabela. Os dados fornecidos são (peguei os valores diretamente da tabela):
x_0 = 0,\quad f(x_0)=0{,}000
x_1 = \pi/6,\quad f(x_1)=0{,}328
x_2 = \pi/4,\quad f(x_2)=0{,}560
O ponto onde queremos a aproximação é x=0{,}628.

Passo 2

Vou explicar a ideia do polinômio de Lagrange de grau 2 de forma didática. Com três pontos (x_0,f_0),(x_1,f_1),(x_2,f_2) o polinômio interpolador quadrático P_2(x) é dado por:
P_2(x)=f_0\,L_0(x)+f_1\,L_1(x)+f_2\,L_2(x),
onde cada L_i(x) é o polinômio base de Lagrange de grau 2 definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
O que isso significa na prática: cada L_i vale 1 em x_i e 0 nos outros nós x_j (j\ne i). Assim P_2(x_i)=f_i para i=0,1,2. A vantagem é que montamos o polinômio diretamente sem resolver sistemas.

Passo 3

Vou trabalhar com valores numéricos aproximados de \pi para poder calcular:
\pi/6\approx 0{,}5235987756,\qquad \pi/4\approx 0{,}7853981634.
Portanto, numericamente:
x_0=0,\quad x_1\approx 0{,}5235987756,\quad x_2\approx 0{,}7853981634,
e queremos P_2(0{,}628).

Passo 4

Calculo L_0(0{,}628). Pela fórmula:
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}.
Substituindo x=0{,}628:
x-x_1=0{,}628-0{,}5235987756=0{,}1044012244,
x-x_2=0{,}628-0{,}7853981634=-0{,}1573981634.
Denominador:
x_0-x_1= -0{,}5235987756,\qquad x_0-x_2=-0{,}7853981634,
(x_0-x_1)(x_0-x_2)=(-0{,}5235987756)(-0{,}7853981634)=\frac{\pi^2}{24}\approx 0{,}4112335167.
Numerador:
(0{,}1044012244)(-0{,}1573981634) \approx -0{,}016427.
Logo
L_0(0{,}628)\approx \frac{-0{,}016427}{0{,}4112335167}\approx -0{,}03994.

Passo 5

Calculo L_1(0{,}628). Pela fórmula:
L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}.
Substituindo:
x-x_0=0{,}628,\qquad x-x_2=-0{,}1573981634,
x_1-x_0=0{,}5235987756,\qquad x_1-x_2= -0{,}2617993878,
(x_1-x_0)(x_1-x_2)= -\frac{\pi^2}{72}\approx -0{,}1370778395.
Numerador:
0{,}628\cdot(-0{,}1573981634)\approx -0{,}0988460466.
Logo
L_1(0{,}628)\approx \frac{-0{,}0988460466}{-0{,}1370778395}\approx 0{,}72109.

Passo 6

Calculo L_2(0{,}628). Pela fórmula:
L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
Substituindo:
x-x_0=0{,}628,\qquad x-x_1=0{,}1044012244,
x_2-x_0=0{,}7853981634,\qquad x_2-x_1=0{,}2617993878,
(x_2-x_0)(x_2-x_1)=\frac{\pi^2}{48}\approx 0{,}2056167583.
Numerador:
0{,}628\cdot 0{,}1044012244\approx 0{,}0655639677.
Logo
L_2(0{,}628)\approx \frac{0{,}0655639677}{0{,}2056167583}\approx 0{,}31885.
(Verifique a soma L_0+L_1+L_2\approx -0{,}03994+0{,}72109+0{,}31885\approx 1{,}00000, o que é um bom check.)

Passo 7

Agora computo P_2(0{,}628)=f_0L_0+f_1L_1+f_2L_2. Como f_0=0 o primeiro termo é zero. Assim:
P_2(0{,}628)\approx 0{,}328\cdot 0{,}72109 + 0{,}560\cdot 0{,}31885.
Calcule cada termo:
0{,}328\cdot 0{,}72109\approx 0{,}23652,
0{,}560\cdot 0{,}31885\approx 0{,}17856.
Somando:
P_2(0{,}628)\approx 0{,}23652+0{,}17856\approx 0{,}41508.
Arredondando para três casas decimais (como os dados da tabela), obtemos aproximadamente 0{,}415.

Resposta

f(0,628)\approx 0{,}415

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