Sejam os pontos da tabela:
0
0,000
0,328
0,560
Determine o valor aproximado de
usando para os pontos dados o polinômio interpolador quadrático (caso particular da Forma de Lagrange).
|
|
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| 0 | 0,000 |
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0,328 |
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0,560 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor aproximado de
usando o polinômio interpolador quadrático (forma de Lagrange) construído a partir dos três pontos da tabela. Os dados fornecidos são (peguei os valores diretamente da tabela):
O ponto onde queremos a aproximação é
.
Passo 2
Vou explicar a ideia do polinômio de Lagrange de grau 2 de forma didática. Com três pontos
o polinômio interpolador quadrático
é dado por:
onde cada
é o polinômio base de Lagrange de grau 2 definido por
O que isso significa na prática: cada
vale
em
e
nos outros nós
. Assim
para
. A vantagem é que montamos o polinômio diretamente sem resolver sistemas.
Passo 3
Vou trabalhar com valores numéricos aproximados de
para poder calcular:
Portanto, numericamente:
e queremos
.
Passo 4
Calculo
. Pela fórmula:
Substituindo
:
Denominador:
Numerador:
Logo
Passo 5
Calculo
. Pela fórmula:
Substituindo:
Numerador:
Logo
Passo 6
Calculo
. Pela fórmula:
Substituindo:
Numerador:
Logo
(Verifique a soma
, o que é um bom check.)
Passo 7
Agora computo
. Como
o primeiro termo é zero. Assim:
Calcule cada termo:
Somando:
Arredondando para três casas decimais (como os dados da tabela), obtemos aproximadamente
.