Sejam a e b raízes da equação x^2-raiz5 cdot x+1=0. Determine o valor numérico de a^8+b^8.

Passo 1

Resumo da questão: a gente tem a equação
x^2-raiz5,x+1=0
e suas raízes são a^8+b^8 e . O que queremos é calcular numericamente

Conteúdo da matéria: raízes de polinômios, relações de Viète (que ligam soma e produto das raízes aos coeficientes) e somas de potências (identidade de Newton).
O que vamos usar:
- Soma das raízes e produto pelas relações de Viète.
- A identidade de Newton para obter em função de e .

Passo 2

Pelas relações de Viète, para a + b = raiz5 e ab = 1 temos

Passo 3

Definimos
pn = a^n + b^n
A identidade de Newton (ou recorrência das raízes de uma equação quadrática monica) diz que, para pn = (a+b),pn-1 ;-; (ab),pn-2 ,
pn = raiz5;pn-1 ;-; 1cdot pn-2
No nosso caso, isso vira

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:

Passo 5

Continuando com a recorrência:

Passo 6

Mais adiante:

Passo 7

Chegando nos últimos:

Resposta

a^8 + b^8 = 47

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