Sejam
A=[rcr beta & 1 & -1 1 & 2 beta-1 & 1 -1 & 1 & -beta ] e b=[r 3 7 -3 ]
(b) Para beta=3 e usando o vetor b dado acima, encontre as fórmulas de iteração dos métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um sistema linear
A,x=b
com
$$A=\begin{pmatrix}
\beta&1&-1\
1&2\beta-1&1\
-1&1&-\beta
\end{pmatrix},\quad
b= A= beta&1&-1 1&2beta-1&1 -1&1&-beta , b=37-3
$$
e o enunciado pede para fixar e achar as fórmulas de iteração dos métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel.
Conteúdo da matéria: métodos iterativos para resolver sistemas .
O que vamos precisar:
1) Isolar cada incógnita na sua própria equação (a ideia de “dividir por ”).
2) Entender a diferença entre usar só valores antigos (Jacobi) e usar valores já atualizados (Gauss-Seidel).

Passo 2

Primeiro, coloque A= 3&1&-1 1&5&1 -1&1&-3 , b=37-3 em xi^(k+1) = 1aiil(bi - sumjne iaij,xj^(k)r) :
x1^(k+1) = 3 - x2^(k) + x3^(k)3, x2^(k+1) = 7 - x1^(k) - x3^(k)5, x3^(k+1) = -3 -(-x1^(k)+x2^(k))-3
Cada linha de - x1^(k) + x2^(k) -3,x3^(k) = -3 ;Longrightarrow; -3,x3^(k)=-3 + x1^(k) - x2^(k) ;Longrightarrow; x3^(k+1)=3 - x1^(k) + x2^(k)3 vira:
Para o método de Jacobi a regra geral é:
Aplicando isso em cada linha, usando só valores da iteração :
Na última equação dá para simplificar o sinal:

Passo 3

No método de Gauss-Seidel a diferença é que, assim que eu calculo xi^(k+1) = 1aiil(bi - sumj< iaij,xj^(k+1) - sumj>iaij,xj^(k)r) , já uso esse valor novo para achar , e depois . A forma é
Então:

Resposta

Jacobi:
x1^(k+1) = dfrac3 - x2^(k) + x3^(k)3,[6pt] x2^(k+1) = dfrac7 - x1^(k) - x3^(k)5,[6pt] x3^(k+1) = dfrac3 - x1^(k) + x2^(k)3
Gauss-Seidel:
x1^(k+1) = dfrac3 - x2^(k) + x3^(k)3,[6pt] x2^(k+1) = dfrac7 - x1^(k+1) - x3^(k)5,[6pt] x3^(k+1) = dfrac3 - x1^(k+1) + x2^(k+1)3

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