1. Sejam y=f(x) uma função contínua e x0, x1, ldots, xn, n+1 pontos distintos em seu domínio.
    (a) Utilize a diferença dividida com x neq x0, com x neq x0, x1, para escrever f(x)=[y0]+(x-x0)[y0, y1]+(x-x0)(x-x1)[y0, y1, y]
    (b) Utilize a diferença dividida f(x), [y0, ldots, yn, y]=f^(n+1)(xi)(n+1)!, xi in(x0, xn) , para escrever
© Generalize as expressões anteriores para obter a partir da diferença dividida
(d) A partir da expressão obtida no item anterior, e da fórmula do erro da interpolação polinomial, obtenha

Passo 1

Tranquilo, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente vai precisar.
Enunciado resumido:
  • Tem uma função contínua e pontos no domínio.
  • (a) Mostrar como escrever usando a primeira diferença dividida com um nó variável .
  • (b) Fazer a mesma coisa mas usando a diferença dividida de segunda ordem.
  • © Generalizar para ordem .
  • (d) Mostrar que essa última diferença dividida (com o ponto variável ) vale .
Conteúdo envolvido:
  • Definição de diferença dividida de Newton.
  • Forma do polinômio de Newton para interpolação.
  • Fórmula do erro (resto) da interpolação polinomial.
O que vamos precisar:
  1. Saber calcular diferenças divididas de 1º, 2º ordem etc.
  2. Montar o polinômio de Newton passo a passo.
  3. Usar a fórmula do resto da interpolação.

Passo 2

Parte (a): diferença dividida de 1ª ordem
  1. Definição básica:
    [y0] = f(x0), [y0, y] = f(x)-f(x0)x - x0,
    onde a gente trata o segundo “ponto” como o próprio f(x);approx; P1(x) = [y0] ;+;(x - x0),[y0,y] (variável).
  2. A ideia do polinômio de Newton de 1ª ordem é
    boxed% f(x) = [y0] + (x - x0),[y0,y]
  3. Como a função é contínua e estamos usando exatamente os valores de , essa “aproximação” é na verdade igualdade para qualquer , logo

Passo 3

Parte (b): diferença dividida de 2ª ordem
  1. Primeiro, as definições individuais:
    [y0,y1] = f(x1)-f(x0)x1 - x0, [y1,y] = f(x)-f(x1)x - x1
  2. Diferença dividida de 2ª ordem “com [y0,y1,y] = [y1,y];-;[y0,y1]x - x0 ” é
    f(x) = [y0] ;+;(x - x0),[y0,y1] ;+;(x - x0)(x - x1),[y0,y1,y]
  3. O polinômio de Newton até 2ª ordem fica

Passo 4

Parte ©: generalizando para ordem Pn(x) = [y0] + sumk=1^n l(prodj=0^k-1(x - xj)r), [y0,y1,dots,yk]
  1. A gente sabe que o polinômio de Newton de grau boxed% f(x) = [y0] + sumk=1^n l(prodj=0^k-1(x - xj)r), [y0,dots,yk] ;+; l(prodj=0^n(x - xj)r), [y0,dots,yn,y] montado sobre os nós é
  2. Se agora a gente acrescenta o “ponto móvel” como -ésimo nó, a forma exata (não só aproximação) de vira

Passo 5

Parte (d): fórmula do erro e valor da última diferença dividida
  1. Teoria do erro: se a gente interpolar Rn(x) ;=; f(x)-Pn(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)!,(x - x0)(x - x1)cdots(x - xn), xiin(x0,xn) em f(x)=Pn(x) + (x - x0)cdots(x - xn),[y0,dots,yn,y] por (x - x0)cdots(x - xn),[y0,dots,yn,y] = f^(n+1)(xi)(n+1)!,(x - x0)cdots(x - xn) , o resto é
    boxed% [y0,dots,yn,y] = f^(n+1)(xi)(n+1)!, xiin(x0,xn)
  2. Por outro lado, da expressão do Passo 4 vemos que
    Ou seja, o termo é exatamente o .
  3. Igualando, obtemos
    Como (pontos distintos), dá

Resposta

(a) .
(b)
©
(d)

Exercícios relacionados