- Sejam
uma função contínua e
pontos distintos em seu domínio.
(a) Utilize a diferença dividida
,
, para escrever
(b) Utilize a diferença dividida
,
, para escrever
© Generalize as expressões anteriores para obter
a partir da diferença dividida
(d) A partir da expressão obtida no item anterior, e da fórmula do erro da interpolação polinomial, obtenha
(a) Utilize a diferença dividida
(b) Utilize a diferença dividida
(d) A partir da expressão obtida no item anterior, e da fórmula do erro da interpolação polinomial, obtenha
Passo 1
Tranquilo, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente vai precisar.
Enunciado resumido:
Enunciado resumido:
- Tem uma função contínua
e pontos no domínio. - (a) Mostrar como escrever
usando a primeira diferença dividida com um nó variável . - (b) Fazer a mesma coisa mas usando a diferença dividida de segunda ordem.
- © Generalizar para ordem
. - (d) Mostrar que essa última diferença dividida (com o ponto variável
) vale .
Conteúdo envolvido:
- Definição de diferença dividida de Newton.
- Forma do polinômio de Newton para interpolação.
- Fórmula do erro (resto) da interpolação polinomial.
O que vamos precisar:
- Saber calcular diferenças divididas de 1º, 2º ordem etc.
- Montar o polinômio de Newton passo a passo.
- Usar a fórmula do resto
da interpolação.
Passo 2
Parte (a): diferença dividida de 1ª ordem
-
Definição básica:onde a gente trata o segundo “ponto” como o próprio
(variável). -
A ideia do polinômio de Newton de 1ª ordem é
-
Como a função é contínua e estamos usando exatamente os valores de
, essa “aproximação” é na verdade igualdade para qualquer , logo
Passo 3
Parte (b): diferença dividida de 2ª ordem
-
Primeiro, as definições individuais:
-
Diferença dividida de 2ª ordem “com
” é -
O polinômio de Newton até 2ª ordem fica
Passo 4
Parte ©: generalizando para ordem
-
A gente sabe que o polinômio de Newton de grau
montado sobre os nós é -
Se agora a gente acrescenta o “ponto móvel”
como -ésimo nó, a forma exata (não só aproximação) de vira
Passo 5
Parte (d): fórmula do erro e valor da última diferença dividida
-
Teoria do erro: se a gente interpolar
em por , o resto é -
Por outro lado, da expressão do Passo 4 vemos queOu seja, o termo
é exatamente o . -
Igualando, obtemosComo
(pontos distintos), dá
Resposta
(a)
.
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)