Sabendo que o resto da divisão de um inteiro b por 7 é 5 , calcular o resto da divisão por 7 dos seguintes números:
b^2+b+1

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que, ao dividir um número inteiro b^2 + b + 1 por 7, o resto é 5. A tarefa é descobrir qual é o resto da divisão de
por 7.
Conteúdo envolvido: aritmética modular (congruências). Vamos precisar do fato de que, se , podemos substituir por 5 em qualquer expressão que a gente queira reduzir módulo 7.

Passo 2

Como b^2 equiv 5^2 pmod7 , temos também
Então primeiro calcula .

Passo 3

Calcular 5^2 = 25 :
b^2 equiv 25 pmod7
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Passo 4

Agora reduzimos 25 módulo 7. Dividindo 25 por 7 dá quociente 3 e resto 4, pois
25 = 3cdot 7 + 4
Então
25 equiv 4 pmod7,
ou seja
b^2 equiv 4 pmod7

Passo 5

Voltando à expressão completa,
b^2 + b + 1 equiv 4 + 5 + 1 pmod7,
porque substituímos por 4 e por 5.

Passo 6

Somando:
4 + 5 + 1 = 10
Então
b^2 + b + 1 equiv 10 pmod7

Passo 7

Para achar o resto de 10 na divisão por 7, fazemos
10 = 1cdot 7 + 3,
ou seja, resto 3.

Resposta

O resto da divisão de por 7 é 3.

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