Sendo A^-1=[cc2598.4 & -5189 -3598.4 & 7189], calcule o número de condição do sistema e avalie o resultado usando o número de condição e mais uma condição característica de avaliação.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que a matriz inversa é
A^-1 = 2598.4 & -5189 [6pt] -3598.4 & 7189
e pede pra calcular o número de condição do sistema e também usar mais uma condição característica pra avaliar o quão “ruim” o sistema é.
Conteúdo: número de condição de uma matriz (aqui no norma infinito) e “outra” característica (vamos usar o determinante de pra ver o quão perto de singular ela está).
O que vamos precisar:
  1. Obter a partir de (invertendo de novo).
  2. Definir norma infinito: maior soma dos valores absolutos de cada linha de .
  3. Calcular .
  4. Calcular e comentar.

Passo 2

Primeiro, vamos achar A = (A^-1)^-1 = 1det(A^-1) d & -b[3pt] -c & a , a partir de a & bc & d. Pra matriz det(A^-1) = (2598.4)(7189);-;(-5189)(-3598.4) =7,800 vale a fórmula
A = 17800 7189 & +5189[3pt] 3598.4 & 2598.4 = 0.921667 & 0.665256[3pt] 0.461336 & 0.333108
se

Aqui

Então
[
A = \frac{1}{7800}

.
]

Passo 3

Agora a norma infinito de |A|infty =max!l, |0.921667|+|0.665256|,;|0.461336|+|0.333108|r =max1.586923,;0.794444 =1.586923 :

Passo 4

A norma infinito de |A^-1|infty =max, |2598.4|+|-5189|,;|-3598.4|+|7189| =max7787.4,;10787.4 =10787.4 :

Passo 5

Número de condição na norma infinito:
kappainfty(A) =|A|infty;|A^-1|infty approx 1.586923times10787.4 approx1.71times10^4

Passo 6

Outra condição característica: o determinante de det(A)=1det(A^-1) =17800approx1.28times10^-4 . Como vimos, , então
Determinante tão pequeno mostra que está bem perto de ser singular.

Resposta

O número de condição (norma infinito) é
kappainfty(A)approx1,7times10^4,
o que já indica que o sistema é fortemente mal condicionado.
Como segunda característica, (quase zero), confirmando que está muito perto de ser singular e que pequenas perturbações podem explodir o erro na solução.

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