Sendo
raízes do polinômio
, mostre que
são raízes do polinômio
.
Passo 1
O enunciado dá um polinômio
e diz que
são raízes de
. Ou seja, para cada
vale
O que o problema pede: mostrar que os números
são raízes do polinômio
Aqui ficam claras as informações relevantes: a definição de
, a lista das raízes
(cada uma satisfaz
) e a definição do polinômio transformado
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entender o que é
e por que essa expressão é um polinômio (sem termos com potências negativas). A ideia: ao substituir
em
aparecem potências de
(termos como
), e multiplicando por
“limpa” os denominadores, tornando a expressão um polinômio em
.
Escrevendo explicitamente a substituição:
Multiplicando por
obtém-se
que é claramente um polinômio de grau até
em
. Portanto
está bem definido como polinômio.
Passo 3
Agora a demonstração direta para uma raiz qualquer
. Tome um índice fixo
e defina
Observe o que acontece se avaliarmos
em
:
Calcule o argumento de
em
:
Portanto a expressão fica
Passo 4
Usar que
é raiz de
. Pela hipótese
. Substituindo no resultado do passo anterior:
Como
, concluímos que
é raiz de
. Isso vale para cada
. Logo todos os números
são raízes de
.
Passo 5
Comentário sobre a possibilidade de
. Se uma das raízes
for
, então
não é definido, portanto a afirmação "
é raiz" não faz sentido nesse caso. Normalmente a propriedade que vem do polinômio recíproco é aplicada às raízes não nulas. Se
tem
como raiz (isto é,
), então
com
e, ao formar
, aparece um fator
e
pode se tornar raiz de
com multiplicidade adequada. Mas a parte essencial da prova (mapeamento
para raízes não nulas) foi feita nos passos anteriores.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a ideia (um caso concreto). Seja
. As raízes são
e
. Então
Calculando e simplificando obtém-se
cuas raízes são
e
, exatamente os números
e
. Isso ilustra concretamente o que foi demonstrado.