Sendo \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n} raízes do polinômio P(x)=c_{n} x^{n}+c_{n-1} x^{n-1}+\cdots+c_{2} x^{2}+c_{1} x+c_{0}, mostre que -1 / \xi_{1},-1 / \xi_{2}, \ldots,-1 / \xi_{n} são raízes do polinômio P_{3}(x)=x^{n} P(-1 / x).

Passo 1

O enunciado dá um polinômio
P(x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_{1}x+c_{0}
e diz que \xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n} são raízes de P. Ou seja, para cada k=1,\ldots,n vale
P(\xi_{k})=0.
O que o problema pede: mostrar que os números -1/\xi_{1},-1/\xi_{2},\ldots,-1/\xi_{n} são raízes do polinômio
P_{3}(x)=x^{n}P\!\left(-\frac{1}{x}\right).
Aqui ficam claras as informações relevantes: a definição de P(x), a lista das raízes \xi_{k} (cada uma satisfaz P(\xi_{k})=0) e a definição do polinômio transformado P_{3}(x). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entender o que é P_{3}(x)=x^{n}P\!\left(-\dfrac{1}{x}\right) e por que essa expressão é um polinômio (sem termos com potências negativas). A ideia: ao substituir -1/x em P aparecem potências de 1/x (termos como x^{-n}), e multiplicando por x^{n} “limpa” os denominadores, tornando a expressão um polinômio em x.
Escrevendo explicitamente a substituição:
P\!\left(-\frac{1}{x}\right)=c_{n}\left(-\frac{1}{x}\right)^{n}+c_{n-1}\left(-\frac{1}{x}\right)^{n-1}+\cdots+c_{1}\left(-\frac{1}{x}\right)+c_{0}.
Multiplicando por x^{n} obtém-se
x^{n}P\!\left(-\frac{1}{x}\right)=c_{n}(-1)^{n}+c_{n-1}(-1)^{n-1}x+\cdots+c_{1}(-1)x^{n-1}+c_{0}x^{n},
que é claramente um polinômio de grau até n em x. Portanto P_{3} está bem definido como polinômio.

Passo 3

Agora a demonstração direta para uma raiz qualquer \xi_{k}. Tome um índice fixo k e defina
x_{k}=-\frac{1}{\xi_{k}}.
Observe o que acontece se avaliarmos P_{3} em x_{k}:
P_{3}(x_{k})=x_{k}^{n}P\!\left(-\frac{1}{x_{k}}\right).
Calcule o argumento de P em P_{3}(x_{k}):
-\frac{1}{x_{k}}=-\frac{1}{-1/\xi_{k}}=\xi_{k}.
Portanto a expressão fica
P_{3}(x_{k})=x_{k}^{n}P(\xi_{k}).

Passo 4

Usar que \xi_{k} é raiz de P. Pela hipótese P(\xi_{k})=0. Substituindo no resultado do passo anterior:
P_{3}(x_{k})=x_{k}^{n}\cdot 0 = 0.
Como P_{3}(x_{k})=0, concluímos que x_{k}=-1/\xi_{k} é raiz de P_{3}. Isso vale para cada k=1,\ldots,n. Logo todos os números -1/\xi_{1},\ldots,-1/\xi_{n} são raízes de P_{3}.

Passo 5

Comentário sobre a possibilidade de \xi_{k}=0. Se uma das raízes \xi_{k} for 0, então -1/\xi_{k} não é definido, portanto a afirmação " -1/\xi_{k} é raiz" não faz sentido nesse caso. Normalmente a propriedade que vem do polinômio recíproco é aplicada às raízes não nulas. Se P tem 0 como raiz (isto é, c_{0}=0), então P(x)=x^{m}Q(x) com m\ge 1 e, ao formar P_{3}(x)=x^{n}P(-1/x), aparece um fator x^{n-m} e x=0 pode se tornar raiz de P_{3} com multiplicidade adequada. Mas a parte essencial da prova (mapeamento \xi\mapsto -1/\xi para raízes não nulas) foi feita nos passos anteriores.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a ideia (um caso concreto). Seja P(x)=(x-2)(x-3)=x^{2}-5x+6. As raízes são \xi_{1}=2 e \xi_{2}=3. Então
P_{3}(x)=x^{2}P\!\left(-\frac{1}{x}\right)=x^{2}\Big(\big(-\tfrac{1}{x}-2\big)\big(-\tfrac{1}{x}-3\big)\Big).
Calculando e simplificando obtém-se
P_{3}(x)=6x^{2}+5x+1,
cuas raízes são -\tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{3}, exatamente os números -1/\xi_{1} e -1/\xi_{2}. Isso ilustra concretamente o que foi demonstrado.

Resposta

-1/\xi_{1},-1/\xi_{2},\ldots,-1/\xi_{n} são raízes de P_{3}(x)=x^{n}P\!\left(-\dfrac{1}{x}\right).

Exercícios relacionados