Portanto os autovalores são raízes de p(\lambda)=0.]
Passo 3
Escolha do método para resolver o polinômio cúbico e razão da escolha.
Para um polinômio cúbico exato podemos usar a fórmula de Cardano: ela dá a raiz real explicitamente (quando há uma) e permite calcular as outras duas raízes (reais ou complexas conjugadas).
Como temos um 3\times3 e o polinômio tem coeficientes racionais simples, usar Cardano é direto e evita iterações matriciais pesadas. Vou aplicar Cardano e avaliar numericamente com precisão suficiente (até 10^{-5}).
Passo 4
Redução à forma deprimida e cálculo dos coeficientes P e Q.
Para o cúbico \lambda^{3}+A\lambda^{2}+B\lambda+C fazemos a substituição \lambda = y - A/3 para eliminar o termo quadrático. No nosso caso A=-17, B=93, C=-157. Logo tomamos \lambda = y + \dfrac{17}{3}.
O cúbico transformado tem a forma deprimida
y^{3} + P y + Q = 0,
com
P = B - \frac{A^{2}}{3},\qquad Q = \frac{2A^{3}}{27}-\frac{AB}{3}+C.
Interpretação: \Delta>0 implica uma única raiz real y e um par de raízes complexas conjugadas para y; portanto a matriz tem um autovalor real e dois autovalores complexos conjugados.
Passo 6
Aplicando a fórmula de Cardano para obter a raiz real y e, em seguida, \lambda.
Tomando as raízes cúbicas reais (observando que ambos S_{+} e S_{-} são negativos, então suas raízes cúbicas reais também são negativas):
\sqrt[3]{S_{+}}\approx -0{,}617016034,\qquad \sqrt[3]{S_{-}}\approx -1{,}800?737\\ (\text{o cálculo numérico dá }-1{,}800737\text{ aproximadamente}).áéá
Somando:
y \approx -0{,}617016034 -1{,}800737 \approx -2{,}417753034.
Voltando para \lambda com \lambda = y + \dfrac{17}{3} (lembre que \dfrac{17}{3}\approx 5{,}6666666667):
\boxed{\lambda_{1}\approx 3{,}2489136667.}
(Este valor é obtido avaliando numericamente as raízes cúbicas com precisão suficiente — os arredondamentos acima já levam a um erro muito menor que 10^{-5} no autovalor final.)
Passo 7
Cálculo das duas raízes restantes (par complexo conjugado) a partir das relações entre raízes do polinômio.
Para o polinômio \lambda^{3}-17\lambda^{2}+93\lambda-157 valem as identidades (soma e produto das raízes):