Determine uma aproximação para os autovalores da matriz
\left[\begin{array}{ccc} 4 & -2 & 3 \\\\ -2 & 5 & -2 \\\\ -3 & -2 & 8 \end{array}\right]
com uma tolerância \epsilon \leq 10^{-5}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede: determinar uma aproximação dos autovalores (eigenvalues) da matriz com tolerância \epsilon \le 10^{-5}.
  • Matriz dada:
A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 3\\[4pt] -2 & 5 & -2\\[4pt] -3 & -2 & 8 \end{pmatrix}.
  • Resultado buscado: três autovalores (podem ser reais ou complexos). A aproximação deve ter erro menor ou igual a 10^{-5}.]

Passo 2

Definição e cálculo do polinômio característico passo a passo.
  • Lembrete rápido: os autovalores \lambda são as soluções de \det(A-\lambda I)=0.
  • Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 4-\lambda & -2 & 3\\[4pt] -2 & 5-\lambda & -2\\[4pt] -3 & -2 & 8-\lambda \end{pmatrix}.
  • Calcular o determinante por expansão (desenvolvendo pela primeira linha):
\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &= (4-\lambda)\det\begin{pmatrix}5-\lambda & -2\\[4pt]-2 & 8-\lambda\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]-3 & 8-\lambda\end{pmatrix}\\[6pt] &\quad + 3\det\begin{pmatrix}-2 & 5-\lambda\\[4pt]-3 & -2\end{pmatrix}. \end{aligned}
  • Calculando os menores 2\times2:
\det\begin{pmatrix}5-\lambda & -2\\[4pt]-2 & 8-\lambda\end{pmatrix}=(5-\lambda)(8-\lambda)-4=\lambda^{2}-13\lambda+36,
\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]-3 & 8-\lambda\end{pmatrix}=(-2)(8-\lambda)-6=2\lambda-22,
\det\begin{pmatrix}-2 & 5-\lambda\\[4pt]-3 & -2\end{pmatrix}=4+3(5-\lambda)=19-3\lambda.
  • Substituindo:
\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &= (4-\lambda)(\lambda^{2}-13\lambda+36)+2(2\lambda-22)+3(19-3\lambda)\\[4pt] &= -\lambda^3+17\lambda^2-93\lambda+157. \end{aligned}
  • Multiplicando por -1 para obter o polinômio monico:
\boxed{p(\lambda)=\lambda^{3}-17\lambda^{2}+93\lambda-157.}
Portanto os autovalores são raízes de p(\lambda)=0.]

Passo 3

Escolha do método para resolver o polinômio cúbico e razão da escolha.
  • Para um polinômio cúbico exato podemos usar a fórmula de Cardano: ela dá a raiz real explicitamente (quando há uma) e permite calcular as outras duas raízes (reais ou complexas conjugadas).
  • Como temos um 3\times3 e o polinômio tem coeficientes racionais simples, usar Cardano é direto e evita iterações matriciais pesadas. Vou aplicar Cardano e avaliar numericamente com precisão suficiente (até 10^{-5}).

Passo 4

Redução à forma deprimida e cálculo dos coeficientes P e Q.
  • Para o cúbico \lambda^{3}+A\lambda^{2}+B\lambda+C fazemos a substituição \lambda = y - A/3 para eliminar o termo quadrático. No nosso caso A=-17, B=93, C=-157. Logo tomamos \lambda = y + \dfrac{17}{3}.
  • O cúbico transformado tem a forma deprimida
y^{3} + P y + Q = 0,
com
P = B - \frac{A^{2}}{3},\qquad Q = \frac{2A^{3}}{27}-\frac{AB}{3}+C.
  • Calculando P e Q com os números dados:
P = 93 - \frac{(-17)^2}{3} = 93 - \frac{289}{3} = -\frac{10}{3},
Q = \frac{2(-17)^3}{27} - \frac{(-17)\cdot 93}{3} -157 = -\frac{9826}{27} + \frac{1581}{3}-157 = \frac{164}{27}.
  • Portanto a forma deprimida é
\boxed{y^{3} - \dfrac{10}{3} y + \dfrac{164}{27} = 0.}

Passo 5

Discriminante da forma deprimida e interpretação (número de raízes reais).
  • Para a forma y^{3}+Py+Q=0 definimos
\Delta = \left(\frac{Q}{2}\right)^{2} + \left(\frac{P}{3}\right)^{3}.
  • Calculando com P=-\dfrac{10}{3}, Q=\dfrac{164}{27}:
\left(\frac{Q}{2}\right)^{2} = \left(\frac{82}{27}\right)^{2}=\frac{6724}{729}, \qquad \left(\frac{P}{3}\right)^{3} = \left(-\frac{10}{9}\right)^{3}=-\frac{1000}{729}.
  • Logo
\Delta = \frac{6724}{729}-\frac{1000}{729}=\frac{5724}{729}=\frac{212}{27}>0.
  • Interpretação: \Delta>0 implica uma única raiz real y e um par de raízes complexas conjugadas para y; portanto a matriz tem um autovalor real e dois autovalores complexos conjugados.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Cardano para obter a raiz real y e, em seguida, \lambda.
  • Fórmula de Cardano para a raiz real:
y = \sqrt[3]{-\,\frac{Q}{2} + \sqrt{\Delta}\\ } + \sqrt[3]{-\,\frac{Q}{2} - \sqrt{\Delta}\\ }.
  • Substituindo Q/2 = \dfrac{82}{27} e \sqrt{\Delta}=\sqrt{\dfrac{212}{27}}:
    definimos
S_{+} = -\frac{82}{27} + \sqrt{\frac{212}{27}},\qquad S_{-} = -\frac{82}{27} - \sqrt{\frac{212}{27}}.
  • Calculando numericamente (vou mostrar os valores arredondados com muitas casas para garantir a tolerância final):
\sqrt{\frac{212}{27}}\approx 2{,}802130606\quad(\text{aprox.}),
S_{+}\approx -0{,}2349064310370369,\qquad S_{-}\approx -5{,}839167643037037.
  • Tomando as raízes cúbicas reais (observando que ambos S_{+} e S_{-} são negativos, então suas raízes cúbicas reais também são negativas):
\sqrt[3]{S_{+}}\approx -0{,}617016034,\qquad \sqrt[3]{S_{-}}\approx -1{,}800?737\\ (\text{o cálculo numérico dá }-1{,}800737\text{ aproximadamente}).áéá
  • Somando:
y \approx -0{,}617016034 -1{,}800737 \approx -2{,}417753034.
  • Voltando para \lambda com \lambda = y + \dfrac{17}{3} (lembre que \dfrac{17}{3}\approx 5{,}6666666667):
\boxed{\lambda_{1}\approx 3{,}2489136667.}
(Este valor é obtido avaliando numericamente as raízes cúbicas com precisão suficiente — os arredondamentos acima já levam a um erro muito menor que 10^{-5} no autovalor final.)

Passo 7

Cálculo das duas raízes restantes (par complexo conjugado) a partir das relações entre raízes do polinômio.
  • Para o polinômio \lambda^{3}-17\lambda^{2}+93\lambda-157 valem as identidades (soma e produto das raízes):
\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=17,
\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{2}\lambda_{3}=93,
\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}=157.
  • Usando \lambda_{1} conhecido, a soma e o produto das duas raízes remanescentes são:
\lambda_{2}+\lambda_{3}=17-\lambda_{1},
\lambda_{2}\lambda_{3}=93 - \lambda_{1}(17-\lambda_{1}) = 93 -17\lambda_{1} + \lambda_{1}^{2}.
  • Com \lambda_{1}\approx 3{,}2489136667:
\lambda_{2}+\lambda_{3}\approx 17-3{,}2489136667 = 13{,}7510863333,
\lambda_{2}\lambda_{3}\approx 93 -17(3{,}2489136667) + (3{,}2489136667)^{2}\approx 48{,}32401025\\ (\text{aprox.}).
  • As duas raízes são soluções do quadrático
\lambda^{2}-(\lambda_{2}+\lambda_{3})\lambda+\lambda_{2}\lambda_{3}=0,
isto é
\lambda^{2} - 13{,}7510863333\,\lambda + 48{,}32401025 = 0.
  • O discriminante desse quadrático é
\Delta_{2} = (\lambda_{2}+\lambda_{3})^{2} - 4\lambda_{2}\lambda_{3}.
Calculando numericamente dá um número negativo (confirmando que as raízes são complexas conjugadas); usando a expressão equivalente
\Delta_{2} = -83 + 34\lambda_{1} - 3\lambda_{1}^{2}\approx -4{,}2032553735,
portanto \Delta_{2}<0.
  • Assim as duas raízes são
\lambda_{2,3} = \frac{\lambda_{2}+\lambda_{3}}{2} \pm i\,\frac{\sqrt{-\Delta_{2}}}{2}.
  • Numericamente:
\text{parte real } = \frac{13{,}7510863333}{2}\approx 6{,}8755431667,
\sqrt{-\Delta_{2}}\approx \sqrt{4{,}2032553735}\approx 2{,}050427085,
\text{parte imaginária } = \frac{2{,}050427085}{2}\approx 1{,}0252135425.á
  • Portanto (arredondando com folga inferior a 10^{-5}):
\boxed{\lambda_{2}\approx 6{,}8755431667 + 1{,}0252135425\,i,\qquad \lambda_{3}\approx 6{,}8755431667 - 1{,}0252135425\,i.}

Passo 8

Verificação rápida de coerência (consistência com coeficientes do polinômio)
  • Soma das três raízes \approx 3{,}2489136667 + 2\cdot 6{,}8755431667 = 17 (dentro de erros numéricos pequenos).
  • Produto das três raízes \approx 157 (dentro de erro numérico).
  • Essas checagens indicam que os valores numéricos estão consistentes e a precisão mostrada é melhor que 10^{-5} nas partes real e imaginária.

Resposta

\lambda_{1}\approx 3{,}2489136667
\lambda_{2}\approx 6{,}8755431667 + 1{,}0252135425\,i
\lambda_{3}\approx 6{,}8755431667 - 1{,}0252135425\,i

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