Considere as funções
e
. Considerando uma tolerância
, compare o desempenhos dos métodos da bisseção, secante e Newton para obter uma aproximação para uma raiz de
no intervalo
e de
no intervalo
.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver ainda).
-
Funções dadas:
-
. -
.
-
-
Intervalos onde procurar uma raiz:
- Para
: intervalo . - Para
: intervalo .
- Para
-
Tolerância exigida:
. Vou usar esta tolerância como critério prático de parada (explico alternativas adiante): ou uma condição sobre o erro em (por exemplo ) ou uma condição sobre o valor da função . Vou deixar explícito qual critério estou usando em cada método.
O que o enunciado pede:
- Aplicar os métodos da bisseção, secante e Newton para aproximar uma raiz em cada intervalo e comparar o desempenho (número de iterações, comportamento, observações relevantes).
Informações úteis que já podemos extrair:
-
(negativo). -
(positivo).
Portanto, por sinais opostos, existe pelo menos uma raiz deem . -
tem raízes em . A única raiz em é ; além disso, em a raiz tem multiplicidade (devido ao fator ). Isso é importante: raízes múltiplas prejudicam a convergência de Newton e secante.
Passo 2
Explicar os métodos, as fórmulas e o critério de parada que vou usar (aulas rápidas e práticas).
- Bisseção (idéia e fórmula)
- Ideia: em
com , escolher . Se a raiz está em , senão em . Repetir. - Garantia: convergência linear segura. Depois de
iterações o comprimento do intervalo é e o erro em é no máximo . - Critério prático usado aqui: parar quando
(isso garante erro em ).
- Método da Secante (idéia e fórmula)
- Ideia: aproxima
por uma reta que passa por e e usa a interseção da reta com o eixo como próxima aproximação: - Não precisa de derivada (vantagem). Ordem de convergência para raiz simples é superlinear (aprox.
), ou seja, costuma ser mais rápido que bisseção, mas não tão rápido quanto Newton quando a derivada está disponível. - Critério prático: parar quando
ou . Vou usar .
- Método de Newton (idéia e fórmula)
- Ideia: aproximar
por sua reta tangente em e usar interseção como próxima aproximação: - Para raiz simples e com boa aproximação inicial, a convergência é quadrática (muito rápida). Porém, se a raiz é múltipla de multiplicidade
, a convergência se degrada: para raiz de multiplicidade a convergência de Newton padrão é apenas linear com fator aproximado (portanto lenta quando é grande). Existe Newton modificado para raízes múltiplas, mas aqui usaremos a versão padrão (pois a questão pede comparar os métodos “padrão”). - Critério prático: parar quando
.
Observação sobre contagem de “custo”: além do número de iterações, é relevante contar avaliações de
e
. Bisseção usa 1 avaliação de
por iteração (na prática às vezes 2 no primeiro passo), secante usa 1 avaliação de
por iteração (reutilizando a anterior), Newton usa 1 avaliação de
e 1 de
por iteração. Isso influencia o “custo” computacional real.
Passo 3
Aplicar bisseção — cálculo do número de iterações necessárias (fórmula prática) para ambos os intervalos com
.
-
Para um intervalo inicial
com comprimento , queremos .
Isso equivale aPra simplificar, em prática toma-seou . Vou usar a forma numérica direta. -
Para os dois intervalos temos
e . Logo em ambos: Assim precisamos deinteiro tal que . Tomando teto, iterações garantem erro em menor que .
Resultado bisseção:
- Para
em : iterações (erro em ). - Para
em : iterações (erro em ).
Explicação final: bisseção não se importa se a raiz é múltipla ou simples — ela só usa sinais.
Passo 4
Aplicar Newton e mostrar iterações detalhadas para
em
(raiz simples). Vou escolher para Newton o palpite inicial
ponto médio do intervalo,
. Critério: parar quando
.
Primeiro calculemos
explicitamente (isso é necessário para Newton):
Agora iterações (vou mostrar as contas com arredondamento razoável nas funções trigonométricas; a intenção é ver como proceder numa prova):
- Iteração 0:
.
Atualização:
-
Iteração 1:
.
Calculare (usei linearização para seno/cos perto de ): Atualização: -
Iteração 2:
. Atualização: -
Iteração 3:
. A correção seriaou seja.
Conclusões práticas para
:
- Newton, com
, atingiu a tolerância após 4 iterações (a terceira atualização já deixa menor que e a quarta atualização tem diferença em menor que ). - Aproximação final (com precisão compatível):
(suficiente para ).
Observação didática: aqui Newton foi muito eficiente porque a raiz é simples e a derivada em torno da raiz não é pequena.
Passo 5
Aplicar Secante para
em
e fazer as iterações (inicializo com os extremos
,
). Critério de parada:
.
Vou apresentar as iterações principais (arredondando nas contas das funções trigonométricas) para você ver o procedimento que faz numa prova:
- Dados iniciais:
-
Iteração 1:
-
Iteração 2:
Avaliando, obtemos -
Iteração 3:
Avaliando, obtemos -
Iteração 4:
Avaliandoobtemos -
Iteração 5:
Avaliandoe aplicando a fórmula, obtemos -
Verificação:
já é menor que (ou muito próximo), e coincide com a aproximação obtida por Newton com precisão da ordem pedida.
Conclusão prática para
:
- Secante converge em cerca de
iterações (dependendo do arredondamento) usando . - Resultado final compatível:
.
Importante pedagógico: secante é mais rápido que bisseção (menos iterações) mas necessita cuidado com escolha de pontos iniciais; Newton foi ainda mais rápido aqui.
Passo 6
Analisar o caso de
em
. Aqui a raiz em
tem multiplicidade
, o que muda bastante o desempenho de Newton e secante. Vou fazer:
- Observação direta: raiz exata é
. Podemos usar isso para verificar as iterações, mas para comparar o desempenho vamos simular/estimar quantas iterações cada método pede.
- Bisseção (já visto):
- Como antes, com
e precisamos de iterações. Bisseção não sofre com multiplicidade.
- Newton (efeito da multiplicidade)
- Para raiz múltipla
, o método de Newton padrão tem convergência apenas linear e o erro aproximadamente se comporta como para suficientemente próximo de . No nosso caso , portanto o fator é . Isso significa que o erro é reduzido em apenas a cada iteração — muito lento comparado à convergência quadrática de raízes simples. - Estimativa do número de iterações: suponha que o palpite inicial esteja a uma distância inicial
de . Após iterações espera-se . Para obter precisamos Se, por exemplo, tomarmos o ponto médio (distância inicial ), então Ou seja, são necessárias cerca de iterações de Newton padrão para alcançar a tolerância se partirmos de . (Se o palpite inicial for mais longe pode ser ainda mais iterações; se for muito próximo, menos.)
- Secante (efeito da multiplicidade)
- Secante também perde performance em presença de raiz múltipla. Na prática a convergência fica próxima de linear com fator semelhante ao de Newton (dependendo dos pontos iniciais), e portanto o número de iterações também cresce muito.
- Experiência rápida: com pontos iniciais
e obtemos um primeiro muito perto de (veja o cálculo breve: ), e depois o método “vai subindo” devagar em direção a . O comportamento é de progresso lento (diferença diminui de forma aproximadamente geométrica com razão próxima de ou algo nessa ordem), o que leva também a dezenas de iterações para atingir . - Assim, estimativa prática: secante também precisará de muitas iterações — da ordem de
iterações dependendo do ponto inicial e do comportamento numérico. Para palpite padrão a estimativa é aproximadamente similar às iterações do Newton (pode ser um pouco menos ou um pouco mais; o importante é que são muitas, muito mais que bisseção).
Comentário final pedagógico neste passo:
- Conclusão qualitativa: para raízes múltiplas o método de Newton (padrão) perde sua vantagem de rapidez (quadrática) e passa a ser lento (convergência linear com razão
). Secante também perde eficiência. A bisseção, embora linear, não sofre com multiplicidade e acaba sendo competitivo ou até preferível em número de iterações quando é grande.
Passo 7
Resumo prático e comparação final (interpretando “desempenho” por número de iterações e comportamento):
-
Caso
em (raiz simples, aproximadamente ): - Bisseção:
iterações (garante erro em ). - Secante (com
): aproximadamente iterações para atingir . - Newton (com
): iterações para atingir . - Observação: Newton é o mais eficiente aqui (menos iterações), secante é intermediário, bisseção é o mais seguro mas mais lento.
- Bisseção:
-
Caso
em (raiz múltipla , multiplicidade ): - Bisseção:
iterações (independente da multiplicidade). - Newton (padrão), com palpite razoável (por exemplo
): requer iterações (estimação com base na taxa linear ). - Secante (com
): também requer dezenas de iterações (estimativa na faixa de iterações), comportamento similar ao de Newton em termos de lentidão. - Observação: para raiz de multiplicidade
Newton e secante perdem a velocidade; bisseção (apesar de não aproveitar suavidade) torna-se competitivo e, na prática, muitas vezes a escolha mais simples e robusta.
- Bisseção:
Resposta
Para
em
— raiz aproximada
:
bisseção: iterações
secante: iterações (aprox.)
Newton: iterações
bisseção:
secante:
Newton:
Para
em
— raiz
(multiplicidade
):
bisseção: iterações
secante: cerca de a
iterações (aprox.)
Newton (padrão): cerca de iterações (aprox.)
bisseção:
secante: cerca de
Newton (padrão): cerca de