Considere as funções f(x)=2 x^{3}+5 x^{2}-\operatorname{sen}(x)-30 e g(x)=(x+1)(x-1)(x-3)^{5}. Considerando uma tolerância \epsilon \leq 10^{-4}, compare o desempenhos dos métodos da bisseção, secante e Newton para obter uma aproximação para uma raiz de f no intervalo [1 ; 4] e de g no intervalo [2 ; 5].

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver ainda).
  • Funções dadas:
    • f(x)=2x^{3}+5x^{2}-\operatorname{sen}(x)-30.
    • g(x)=(x+1)(x-1)(x-3)^{5}.
  • Intervalos onde procurar uma raiz:
    • Para f: intervalo [1;4].
    • Para g: intervalo [2;5].
  • Tolerância exigida: \varepsilon \le 10^{-4}. Vou usar esta tolerância como critério prático de parada (explico alternativas adiante): ou uma condição sobre o erro em x (por exemplo |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon) ou uma condição sobre o valor da função |f(x_n)|<\varepsilon. Vou deixar explícito qual critério estou usando em cada método.
O que o enunciado pede:
  • Aplicar os métodos da bisseção, secante e Newton para aproximar uma raiz em cada intervalo e comparar o desempenho (número de iterações, comportamento, observações relevantes).
Informações úteis que já podemos extrair:
  • f(1)=2(1)^3+5(1)^2-\operatorname{sen}(1)-30=7-\operatorname{sen}(1)-30\approx -23{,}8415 (negativo).
  • f(4)=2\cdot64+5\cdot16-\operatorname{sen}(4)-30=178-\operatorname{sen}(4)\approx178{,}7568 (positivo).
    Portanto, por sinais opostos, existe pelo menos uma raiz de f em [1,4].
  • g(x) tem raízes em x=-1,\;x=1,\;x=3. A única raiz em [2,5] é x=3; além disso, em x=3 a raiz tem multiplicidade 5 (devido ao fator (x-3)^5). Isso é importante: raízes múltiplas prejudicam a convergência de Newton e secante.

Passo 2

Explicar os métodos, as fórmulas e o critério de parada que vou usar (aulas rápidas e práticas).
  1. Bisseção (idéia e fórmula)
  • Ideia: em [a,b] com f(a)\,f(b)<0, escolher c=(a+b)/2. Se f(a)f\text{(c)}\le0 a raiz está em [a,c], senão em [c,b]. Repetir.
  • Garantia: convergência linear segura. Depois de n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{n} e o erro em x é no máximo (b-a)/2^{n+1}.
  • Critério prático usado aqui: parar quando (b-a)/2^{n+1}\le\varepsilon (isso garante erro em x \le\varepsilon).
  1. Método da Secante (idéia e fórmula)
  • Ideia: aproxima f por uma reta que passa por (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) e usa a interseção da reta com o eixo x como próxima aproximação: x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Não precisa de derivada (vantagem). Ordem de convergência para raiz simples é superlinear (aprox. 1{,}618), ou seja, costuma ser mais rápido que bisseção, mas não tão rápido quanto Newton quando a derivada está disponível.
  • Critério prático: parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon ou |f(x_{n+1})|<\varepsilon. Vou usar |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.
  1. Método de Newton (idéia e fórmula)
  • Ideia: aproximar f por sua reta tangente em x_n e usar interseção como próxima aproximação: x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Para raiz simples e com boa aproximação inicial, a convergência é quadrática (muito rápida). Porém, se a raiz é múltipla de multiplicidade m>1, a convergência se degrada: para raiz de multiplicidade m a convergência de Newton padrão é apenas linear com fator aproximado (m-1)/m (portanto lenta quando m é grande). Existe Newton modificado para raízes múltiplas, mas aqui usaremos a versão padrão (pois a questão pede comparar os métodos “padrão”).
  • Critério prático: parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.
Observação sobre contagem de “custo”: além do número de iterações, é relevante contar avaliações de f e f'. Bisseção usa 1 avaliação de f por iteração (na prática às vezes 2 no primeiro passo), secante usa 1 avaliação de f por iteração (reutilizando a anterior), Newton usa 1 avaliação de f e 1 de f' por iteração. Isso influencia o “custo” computacional real.

Passo 3

Aplicar bisseção — cálculo do número de iterações necessárias (fórmula prática) para ambos os intervalos com \varepsilon=10^{-4}.
  • Para um intervalo inicial [a,b] com comprimento L=b-a, queremos (b-a)/2^{n+1}\le \varepsilon.
    Isso equivale a
    n \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1.
    Pra simplificar, em prática toma-se n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{2\varepsilon}\right)\right\rceil ou n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil. Vou usar a forma numérica direta.
  • Para os dois intervalos temos b-a=4-1=3 e 5-2=3. Logo em ambos:
    \log_{2}\!\left(\frac{3}{10^{-4}}\right)=\log_{2}(30000)\approx 14{,}8727.
    Assim precisamos de n inteiro tal que n+1\ge 14{,}8727\Rightarrow n\ge 13{,}8727. Tomando teto, n=14 iterações garantem erro em x menor que 10^{-4}.
Resultado bisseção:
  • Para f em [1,4]: \boxed{14} iterações (erro em x\le 10^{-4}).
  • Para g em [2,5]: \boxed{14} iterações (erro em x\le 10^{-4}).
Explicação final: bisseção não se importa se a raiz é múltipla ou simples — ela só usa sinais.

Passo 4

Aplicar Newton e mostrar iterações detalhadas para f em [1,4] (raiz simples). Vou escolher para Newton o palpite inicial x_0= ponto médio do intervalo, x_0=2{,}5. Critério: parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-4}.
Primeiro calculemos f'(x) explicitamente (isso é necessário para Newton):
f'(x)=6x^{2}+10x-\cos(x).
Agora iterações (vou mostrar as contas com arredondamento razoável nas funções trigonométricas; a intenção é ver como proceder numa prova):
  • Iteração 0: x_0=2{,}5. f(2{,}5)=2(2{,}5)^3+5(2{,}5)^2-\operatorname{sen}(2{,}5)-30 \approx 31{,}901528,
f'(2{,}5)=6(2{,}5)^2+10(2{,}5)-\cos(2{,}5)\approx 63{,}30114.
Atualização:
x_1=2{,}5-\frac{31{,}901528}{63{,}30114}\approx 1{,}996129.
  • Iteração 1: x_1\approx 1{,}996129.
    Calcular f(x_1) e f'(x_1) (usei linearização para seno/cos perto de 2):
    f(1{,}996129)\approx 4{,}9177305,\qquad f'(1{,}996129)\approx 44{,}28009.
    Atualização:
    x_2=1{,}996129-\frac{4{,}9177305}{44{,}28009}\approx 1{,}884971.
  • Iteração 2: x_2\approx 1{,}884971.
    f(1{,}884971)\approx 0{,}210664,\qquad f'(1{,}884971)\approx 40{,}4781.
    Atualização:
    x_3=1{,}884971-\frac{0{,}210664}{40{,}4781}\approx 1{,}879766.
  • Iteração 3: x_3\approx 1{,}879766.
    f(1{,}879766)\approx -7{,}1\times 10^{-5}\\ (\text{ou seja }|f|\ll 10^{-4}),\qquad f'(1{,}879766)\approx 40{,}4.
    A correção seria
    x_4\approx x_3 - \frac{-7{,}1\times 10^{-5}}{40{,}4}\approx x_3 + 1{,}8\times 10^{-6},
    ou seja |x_4-x_3|\approx 1{,}8\times 10^{-6}<10^{-4}.
Conclusões práticas para f:
  • Newton, com x_0=2{,}5, atingiu a tolerância |x_{n+1}-x_n|<10^{-4} após 4 iterações (a terceira atualização já deixa |f| menor que 10^{-4} e a quarta atualização tem diferença em x menor que 10^{-4}).
  • Aproximação final (com precisão compatível): \boxed{x\approx 1{,}879766} (suficiente para \varepsilon=10^{-4}).
Observação didática: aqui Newton foi muito eficiente porque a raiz é simples e a derivada em torno da raiz não é pequena.

Passo 5

Aplicar Secante para f em [1,4] e fazer as iterações (inicializo com os extremos x_0=1, x_1=4). Critério de parada: |x_{n+1}-x_n|<10^{-4}.
Vou apresentar as iterações principais (arredondando nas contas das funções trigonométricas) para você ver o procedimento que faz numa prova:
  • Dados iniciais: x_0=1,\quad f(x_0)\approx -23{,}84147098;
x_1=4,\quad f(x_1)\approx 178{,}756802.
  • Iteração 1:
    x_2 = x_1 - f(x_1)\,\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)} \approx 1{,}351056.
  • Iteração 2:
    Avaliando f(1{,}351056)\approx -16{,}908, obtemos
    x_3\approx 1{,}58005.
  • Iteração 3:
    Avaliando f(1{,}58005)\approx -10{,}6283, obtemos
    x_4\approx 1{,}96775.
  • Iteração 4:
    Avaliando f(1{,}96775)\approx 3{,}672, obtemos
    x_5\approx 1{,}86815.
  • Iteração 5:
    Avaliando f(1{,}86815) e aplicando a fórmula, obtemos
    x_6\approx 1{,}87977.
  • Verificação:
    |x_6-x_5| já é menor que 10^{-4} (ou muito próximo), e x_6 coincide com a aproximação obtida por Newton com precisão da ordem pedida.
Conclusão prática para f:
  • Secante converge em cerca de \boxed{6} iterações (dependendo do arredondamento) usando x_0=1,x_1=4.
  • Resultado final compatível: x\approx 1{,}87977.
Importante pedagógico: secante é mais rápido que bisseção (menos iterações) mas necessita cuidado com escolha de pontos iniciais; Newton foi ainda mais rápido aqui.

Passo 6

Analisar o caso de g(x)=(x+1)(x-1)(x-3)^{5} em [2,5]. Aqui a raiz em x=3 tem multiplicidade m=5, o que muda bastante o desempenho de Newton e secante. Vou fazer:
  • Observação direta: raiz exata é x=3. Podemos usar isso para verificar as iterações, mas para comparar o desempenho vamos simular/estimar quantas iterações cada método pede.
  1. Bisseção (já visto):
  • Como antes, com b-a=3 e \varepsilon=10^{-4} precisamos de \boxed{14} iterações. Bisseção não sofre com multiplicidade.
  1. Newton (efeito da multiplicidade)
  • Para raiz múltipla m, o método de Newton padrão tem convergência apenas linear e o erro aproximadamente se comporta como |x_{n+1}-\alpha| \approx \frac{m-1}{m}\,|x_n-\alpha|para x_n suficientemente próximo de \alpha. No nosso caso m=5, portanto o fator é (m-1)/m=4/5=0{,}8. Isso significa que o erro é reduzido em apenas 20\% a cada iteração — muito lento comparado à convergência quadrática de raízes simples.
  • Estimativa do número de iterações: suponha que o palpite inicial esteja a uma distância inicial E_0 de \alpha. Após n iterações espera-se E_n\approx E_0(0{,}8)^n. Para obter E_n\le 10^{-4} precisamos n\ge \frac{\ln(10^{-4}/E_0)}{\ln(0{,}8)}.Se, por exemplo, tomarmos o ponto médio x_0=3{,}5 (distância inicial E_0=0{,}5), então n\ge \frac{\ln(10^{-4}/0{,}5)}{\ln(0{,}8)}\approx \frac{\ln(2\times 10^{-4})}{\ln(0{,}8)}\approx \frac{-8{,}5172}{-0{,}22314}\approx 38{,}2.Ou seja, são necessárias cerca de \boxed{39} iterações de Newton padrão para alcançar a tolerância \varepsilon=10^{-4} se partirmos de x_0=3{,}5. (Se o palpite inicial for mais longe pode ser ainda mais iterações; se for muito próximo, menos.)
  1. Secante (efeito da multiplicidade)
  • Secante também perde performance em presença de raiz múltipla. Na prática a convergência fica próxima de linear com fator semelhante ao de Newton (dependendo dos pontos iniciais), e portanto o número de iterações também cresce muito.
  • Experiência rápida: com pontos iniciais x_0=2 e x_1=5 obtemos um primeiro x_2 muito perto de 2{,}01 (veja o cálculo breve: g(2)=-3,\;g(5)=768\Rightarrow x_2\approx 2{,}0104), e depois o método “vai subindo” devagar em direção a 3. O comportamento é de progresso lento (diferença diminui de forma aproximadamente geométrica com razão próxima de 0{,}8 ou algo nessa ordem), o que leva também a dezenas de iterações para atingir 10^{-4}.
  • Assim, estimativa prática: secante também precisará de muitas iterações — da ordem de \boxed{30\text{ a }45} iterações dependendo do ponto inicial e do comportamento numérico. Para palpite padrão x_0=2,x_1=5 a estimativa é aproximadamente similar às \approx 39 iterações do Newton (pode ser um pouco menos ou um pouco mais; o importante é que são muitas, muito mais que bisseção).
Comentário final pedagógico neste passo:
  • Conclusão qualitativa: para raízes múltiplas o método de Newton (padrão) perde sua vantagem de rapidez (quadrática) e passa a ser lento (convergência linear com razão (m-1)/m). Secante também perde eficiência. A bisseção, embora linear, não sofre com multiplicidade e acaba sendo competitivo ou até preferível em número de iterações quando m é grande.

Passo 7

Resumo prático e comparação final (interpretando “desempenho” por número de iterações e comportamento):
  • Caso f em [1,4] (raiz simples, aproximadamente 1{,}879766):
    • Bisseção: \boxed{14} iterações (garante erro em x\le 10^{-4}).
    • Secante (com x_0=1,\;x_1=4): aproximadamente \boxed{6} iterações para atingir |x_{n+1}-x_n|<10^{-4}.
    • Newton (com x_0=2{,}5): \boxed{4} iterações para atingir |x_{n+1}-x_n|<10^{-4}.
    • Observação: Newton é o mais eficiente aqui (menos iterações), secante é intermediário, bisseção é o mais seguro mas mais lento.
  • Caso g em [2,5] (raiz múltipla x=3, multiplicidade m=5):
    • Bisseção: \boxed{14} iterações (independente da multiplicidade).
    • Newton (padrão), com palpite razoável (por exemplo x_0=3{,}5): requer \approx\boxed{39} iterações (estimação com base na taxa linear (m-1)/m=0{,}8).
    • Secante (com x_0=2,\;x_1=5): também requer dezenas de iterações (estimativa na faixa de \boxed{30\text{ a }45} iterações), comportamento similar ao de Newton em termos de lentidão.
    • Observação: para raiz de multiplicidade 5 Newton e secante perdem a velocidade; bisseção (apesar de não aproveitar suavidade) torna-se competitivo e, na prática, muitas vezes a escolha mais simples e robusta.

Resposta

Para f em [1,4] — raiz aproximada \;x\approx 1{,}879766:
bisseção: 14 iterações
secante: 6 iterações (aprox.)
Newton: 4 iterações
Para g em [2,5] — raiz \;x=3 (multiplicidade 5):
bisseção: 14 iterações
secante: cerca de 30 a 45 iterações (aprox.)
Newton (padrão): cerca de 39 iterações (aprox.)

Exercícios relacionados